Existenta unor poliedre

Post by **Beniamin Bogosel** » Sat Sep 13, 2008 9:49 am

Demonstrati ca nu exista poliedre convexe pentru care fiecare fata poligonala are cel putin 6 laturi.

mihai++ · Post by **mihai++** » Mon Sep 15, 2008 2:23 pm

Dar hexaedrul?

Post by **Beniamin Bogosel** » Mon Sep 15, 2008 2:28 pm

Hexaedrul este un poliedru cu 6 fete. Nu un poliedru in care oricare fata are proprietatea ceruta....

mihai++ · Post by **mihai++** » Tue Sep 16, 2008 8:51 am

DA, scuze am folosit termenul hexaedru gresit.
Uite de exemplu am jucat un joc in care trebuia sa construiesti tot felul de chestii si punand hexagoane regulate latura in latura se inchide poliedrul. De exemplu o minge de fotbal (altceva nu mi-a venit in minte).

Post by **Beniamin Bogosel** » Tue Sep 16, 2008 3:50 pm

Cu hexagoane regulate nu se poate face nimic pentru ca suma unghiurilor dintr-un varf ajunge la 360 de grade, ceea ce e imposibil pentru un poliedru convex! Fii sigur ca nu e gresita problema, pentru ca e din sursa sigura. Incearca s-o rezolvi

(.. la mingea de fotbal sunt si pentagoane si hexagoane, si oricum, nu sunt de forma plana...)

Ciprian Oprisa · Post by **Ciprian Oprisa** » Wed Sep 17, 2008 10:26 am

Într-un poligon convex, în fiecare vârf se întâlnesc cel puţin 3 muchii, şi fiecare muchie are 2 vârfuri, de unde obţinem că \( M\geq \frac{3}{2}V \).
Din identitatea lui Euler, \( F+V=M+2 \Rightarrow F+V \geq \frac{3}{2}V+2 \).
\( \Rightarrow V\leq 2(F-2) \).
Dacă fiecare faţă ar avea cel puţin 6 laturi, atunci contribuţia adusă de ea la suma unghiurilor ce se întâlnesc în vârfuri ar fi de cel puţin \( 720^o \), adică suma totală ar fi cel puţin \( 720F \). Dar pentru existenţă, fiecare vârf ar trebui să aibă suma unghiurilor mai mică decât \( 360^o \), adică suma măsurilor unghiurilor să fie cel mult \( 2(F-2)\cdot 360=720(F-2)<720F \).