JBMO 2008 problema 2

[Omer Cerrahoglu]

Se da un cerc \( k \) de raza 1 si \( \triangle ABC \) echilateral astfel incat \( A \), \( B \in k \) si \( C \) este in interiorul lui \( k \). Fie punctul \( D \in k \) , \( D \neq B \) si \( AB=AD \). Fie \( {E}=k \cap CD \). Determinati lungimea segmentului \( CE \).

[Marius Mainea]

Fie cercul de centru A si raza AB. Atunci D si C se afla pe cerc deci x=\( m(\angle CBD)=\frac{1}{2}m(\angle DAC) \)

Atunci \( \angle ADC=\frac{180-2x}{2}=90-x \) iar \( \angle ADB=\angle ABD=60-x \)

Rezulta ca \( \angle BDE=90-x-(60-x)=30=\frac{1}{2}(\angle BOE) \) unde Oeste centrul cercului k .

Asadar triunghiul BOE este echilateral deci BE=1(**)

Pe de alta parte patrulaterul ABED este inscriptibil de unde \( \angle BED=180-60-2x=120-2x \) iar \( \angle BCE=180-60-(90-x)=30+x \)

si atunci din triunghiul BEC \( \angle CBE=180-(120-2x)-(30+x)=30+x=\angle BCE \)

Rezulta ca triunghiul BCE este isoscel si cu relatia (**) avem CE=BE=1.