JBMO 2008 problema 3

[Omer Cerrahoglu]

Determinati toate numerele prime \( p \), \( q \) si \( r \) pentru care \( \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1 \).

[Theodor Munteanu]

Avem (p-q)(r+1)=4q;
daca r=2 rezulta p=7 si q=3;
daca r>2 rezulta p-q=2k si r+1=2k' deci kk'=q;
dar q e prim deci:
1)k=q;k'=1 si p-q=2q deci p=3q dar q>2 deci p>3 si nu e prim;
2)k=1 deci p-q=2 deci (q+2)/q-4/(r+1)=1 sau r=2q-1.
Astfel avem tripletele(q+2,q,2q-1) si (7,3,2).
Nu stiu de ce dar latexul nu merge asa ca am scris "de mana".[/code][/quote][/tex]

[Marius Mainea]

\(
\[
\begin{array}{l}
Avem{\rm p(r + 1) - 4q = q(r + 1) sau (p - q)(r + 1) = 4q,p} \ne q; \\
{\rm daca r = 2} \Rightarrow {\rm q = 3} \Rightarrow {\rm p = 7;} \\
{\rm r > 2} \Rightarrow {\rm p - q = 2k deci p,q > 2}{\rm .} \\
{\rm 2k*2k' = 4q} \Rightarrow {\rm kk' = q(r + 1 = 2k') deci :} \\
{\rm 1)k = q si k' = 1;p - q = 2q} \Rightarrow {\rm p = 3q iar p > 3 deci p nu e prim;} \\
{\rm 2)k = 1 si k' = q;p - q = 2 si }\frac{{{\rm q + 2}}}{{\rm q}} - \frac{4}{{r + 1}} = 1 \Rightarrow r + 1 = 2q{\rm deci tripletele} \\
{\rm (p,q,r) = (q + 2,q,2q - 1)}{\rm .si (7,3,2)} \\
\end{array}
\] \)

Poti sa scrii putin mai clar?

[Omer Cerrahoglu]

Avem (p-q)(r+1)=4q;
daca r=2 rezulta p=7 si q=3;
daca r>2 rezulta p-q=2k si r+1=2k' deci kk'=q;
dar q e prim deci:
1)k=q;k'=1 si p-q=2q deci p=3q dar q>2 deci p>3 si nu e prim;
2)k=1 deci p-q=2 deci (q+2)/q-4/(r+1)=1 sau r=2q-1.
Astfel avem tripletele(q+2,q,2q-1) si (7,3,2).

Ai 2 greseli in solutie:
1)Din \( r>2 \) nu rezulta \( p-q=2k \)(\( q \)poate lua valoarea 2)
2)Tripletul \( (q+2,q,2q-1) \) reaprezinta o singura solutie in numere prime(gandestete de ce )

[Sorin]

pai da, de la \( (p-q)(r+1)=4q \) am luat si eu pe cazuri
(1) \( p-q=1 \) si \( r+1=4q \) \( \Leftrightarrow q=2;p=3;r=7 \)
(2) \( p-q=2q \)si \( r+1=2 \Leftrightarrow r=1 \),nu convine
(3) \( p-q=q \) si \( r+1=4 \Leftrightarrow p=2q \Leftrightarrow q=1 \),nu convine
(4) \( p-q=4 \) si \( r+1=q \Leftrightarrow q=p-4=r+1 \Leftrightarrow r=p-5 \Leftrightarrow p=7;q=3;r=2 \)
(5) Cazul asta intr-adevar da cele mai multe batai de cap :\( p-q=2 \) si \( r+1=2q \Leftrightarrow p=q+2 \) si \( r=2q-1 . \)
Daca q e de forma \( 3k \) obtinem o singura solutie pentru \( k=1 : q=3,p=r=5 \)
Daca \( q \) e de forma \( 3k+1 \), cu \( k \geq 2 \) \( p \) va fi de forma \( 3k+3=3(k+1) \vdots 3 \)
Daca \( q \) e de forma \( 3k+2 \) \( r \) va fi de forma \( 6k+3=3(k+2) \vdots 3 \)

Rezumand cele 5 cazuri obtinem \( (q,p,r)\in {(2,3,7);(3,7,2);(3,5,5)} \)