Concursul "Dimitrie Pompeiu" 2008, subiectul 1

[Bogdan Cebere]

a) Daca \( A,B \in M_2(C) \), aratati ca \( (AB-BA)^2=[ \det (AB+BA)-4( \det A)(\det B)]I_2 \).
b) Fie \( A,\ B,\ C \in M_2(R) \) care comuta intre ele. Sa se arate ca \( \det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0 \).

[opincariumihai]

\( (AB-BA)^2=\det(AB-BA)I_2 \) iar \( \det(AB+BA)+\det(AB-BA)=4\det(AB) \) de unde relatia de la a)
Pentru b) este suficient sa observ ca pentru \( M=A+eB+\overline{e}C \) unde \( e=-1/2+i\sqrt{3}/2 \) inegalitatea de demonstrat devine \( \det(M\overline{M})\geq0 \) care este evidenta.