9 numere consecutive

[Beniamin Bogosel]

Demonstrati ca nu se poate imparti o mlultime de \( 9 \) numere naturale consecutive in doua submultimi disjuncte avand produsele elementelor egale.

[Sabin Salajan]

Notand elementele cu \( a+1,a+2,...,a+9 \), avem intr-o parte cel putin 5 numere al caror produs pt \( a\geq 5 \) este \( \geq \)\( (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)\g \)\( (a+6)(a+7)(a+{8})(a+9) \), deci nu putem avea produsele egale.
Pentru \( a\leq4 \) se analizeaza cazurile.

[Filip Chindea]

OK! Dar ca topic-ul sa ajunga la nivelul "Seniori", ce ziceti de aceeasi problema pentru \( 6 \) numere? (IMO '70). Desigur, chiar si aceasta se bazeaza pe o observatie simpla.

[Dragos Fratila]

Ne uitam la numere modulo 7.
Atunci ele vor fi 0,1,2,3,4,5 sau 1,2,3,4,5,6
Primul caz e clar.
Pt al doilea: produsul tuturor face -1 modulo 7. Daca s-ar putea imparti in doua care sa aiba acelasi produs ar insemna ca ecuatia \( x^2=-1 \) ar avea solutie modulo 7 ceea ce e imposibil.

[spx2]

Un articol aratand o solutie pentru aceeasi problema cu 6 in loc de 9 numere (cam aceeasi solutie ca cea de mai sus).