Submultime finita de intervale disjuncte

[Dragos Fratila]

Fie E o multime marginita in \( \mathbb R \) si fie S o multime de intervale inchise nedegenerate care acopera pe E si care, in plus, are proprietatea ca pentru orice x din E exista un interval inchis din S care are capatul stang x.
Demonstrati ca pentru orice e>0 exista o submultime finita de intervale disjuncte din S cu proprietate ca ele acopera pe E mai putin o submultime de masura (exterioara) e.

[Consonant]

Fie \( a=\inf\, E \) si \( b=\sup\, E \). Fixam \( \epsilon>0 \) si construim un sir de intervale \( (I_n) \) din \( \cal S \) inductiv, astfel.

\( a_1\in E \) se alege cu proprietatea \( a_1-a<\frac{\epsilon}{3} \). Fie \( b_1^\prime=\sup\{x\mid [a_1,x]\in {\cal S}\} \) si apoi \( b_1 \) se alege astfel incat \( [a_1,b_1]\in{\cal S} \) si \( b_1^\prime-b_1<\frac{\epsilon}{2\cdot 6} \). Pentru a defini intervalul \( I_2=[a_2,b_2] \) distingem doua situatii: daca \( b_1 \) este punct de acumulare cu elemente din \( E \) mai mari decat \( b_1 \), se defineste \( b_2^\prime=\sup\{y\mid [x,y]\in {\cal S},\ b_1<x<b_1+\frac{\epsilon}{2\cdot 6}\} \) si apoi se alege\( I_2=[a_2,b_2]\in {\cal S} \) cu proprietatatile \( a_2-b_1<\frac{\epsilon}{2^2\cdot 6} \) si \( b_2^\prime-b_2<\frac{\epsilon}{2^2\cdot 6} \). In caz contrar, exista \( \delta>0 \) maximal cu proprietatea \( (b_1,b_1+\delta)\cap E=\emptyset \) si atunci \( a_2 \) se determina cu proprietatea \( b_1+\delta\leq a_2<b_1+\delta+\frac{\epsilon}{2^2\cdot 6} \), cu modificarile de rigoare pentru \( b_2 \).

In general, intervalul \( I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]\in{\cal S} \) se alege in felul urmator: daca \( b_n \) este punct de acumulare cu numere din \( E \) mai mari, definim \( b_{n+1}^\prime=\sup\{y\mid [x,y]\in {\cal S},\ b_n<x<b_n+\frac{\epsilon}{2^{n+1}\cdot 6},\} \) si apoi alegem
\( a_{n+1}-b_n<\frac{\epsilon}{2^{n+1}\cdot 6} \) si \( b_{n+1}^\prime-b_{n+1}<\frac{\epsilon}{2^{n+1}\cdot 6} \). In caz contrar, se procedeaza similar cu alegerea lui \( b_2 \).

Fie \( b^\prime=\sup\, b_n \) si \( N\geq 1 \) astfel incat \( b^\prime-b_N<\frac{\epsilon}{3} \). Atunci "lungimea" multimii \( (E\cap[a,b^\prime])\setminus\bigcup_{n=1}^NI_n \) este mai mica decat \( \epsilon \).

Mai ramane de argumentat ca \( b=b^\prime \), ceea ce cred ca rezulta din proprietatile sirului de intervale \( (I_n) \).

N.B. Constructia sirului \( (I_n) \) se opreste la pasul \( N \) intr-unul din urmatoarele cazuri: (i) \( b_N^\prime=+\infty \) sau (ii) \( b_N^\prime\geq b \).

[Dragos Fratila]

Pe \( a_2 \) nu il puteti alege asa. Nu aveti siguranta ca se afla in E.

In plus, constructia aceasta "luatul intervalului maxim dintr-un punct" (cel putin in felul acesta) nu va duce la solutie fiindca nu aveti niciun control asupra capatului stang.
Exemplu:
E = (0,1)
E foarte posibil ca alegand la intamplare capetele stangi de intervale (constranse de inegalitatea pe care ati scris-o) sa nimerim un capat din care porneste un singur interval foarte mic: spre exemplu sa zicem ca intervalele din numere rationale (cate unul pentru fiecare nr rational) sunt toate foarte foarte mici (le putem pune astfel incat suma lungimilor lor sa fie < epsilon) atunci alegand mereu capatul din stanga sa fie rational nu vom putea sa "aproape acoperim" pe (0,1)...

Indiciu: trebuie eliminate prima data punctele astea cu proprietati "proaste" cum sunt rationalele din exemplul de mai sus.

[Alin Galatan]

Construim o multime \( S^\prime \) de intervale ca fiind toate intervalele inchise incluse in intervale din \( S \)
Obtinem ca:
\( \forall\eps>0 \forall x\in E\exists V\in S^\prime \) astfel ca \( x\in V \) si \( \lambda(V)<\eps \), deci \( S^\prime \) e acoperire Vitali pentru E.
Teorema de acoperire a lui Vitali ne da o acoperire finita ca in concluzie cu intervale \( J_n \) din \( S^\prime \), care e mai "rea" decat acoperirea de intervale din S, \( I_n \), unde \( I_n \) e un interval ce il contine pe \( J_n \),

[Dragos Fratila]

Alin, intervalele \( I_n \) trebuie sa fie disjuncte - de unde stii ca sunt?

[Alin Galatan]

M-am dat batut, asa ca m-am uitat in cursul de teoria masurii, unde stiam ca e ceva de genul asta. Cred ca asta rezolva situatia:

Lema (Rajchman-Sacks) Fie \( E \) o multime marginita si I o familie de intervale deschise. Daca \( \forall x\in E\exists h>0 \) asa ca \( (x,x+h)\in I \), atunci pentru orice \( \eps>0 \) exista o familie finita de intervale disjuncte \( (x_k,x_k+h_k) \) si o \( F\subset E \) astfel ca \( U=\cup (x_k,x_k+h_k)\supset F \) si \( \lambda^*(F)>\lambda^*(E)-\eps \)

Pentru demonstratie, voi face o poza si voi uploada. Nu e lunga, dar sunt multe simboluri.

[Consonant]

Obiectie corecta si asumata: fac o incercare de a repara "solutia" prin reeditare. Am inca impresia ca se poate merge pe aceasta abordare elementara (pana la proba contrarie!).

[Dragos Fratila]

Alin, faina lema , dar considerand ca multimea I o iei ca fiind intervalele deschise ce apar in S (din ipoteza) cum stii ca la sfarsit intervalele \( [x_k,x_k+h_k] \) sunt disjuncte? s-ar putea sa se "pupe" in capete. Sau poate te-ai gandit ca I sa nu constea in toate intervalele din S?