JBTST V 2007, problema 1

[Laurian Filip]

Consideram \( \rho \) un semicerc de diametru AB. O paralela la AB taie semicercul in punctele C si D astfel incat AD separa punctele B si C. Fie E punctul de intersectie al paralelei prin C la AD cu \( \rho \) si F punctul de intersectie al dreptelor BE si CD. Fie P punctul de intersectie al paralelei prin F la AD cu dreapta AB. Sa se arate ca dreapta PC este tangenta semicercului \( \rho \).

[Ahiles]

\( ACDB \) este un trapez inscriptibil, deci este isoscel si \( \angle{CBA}=\angle{DAB}=\angle{FPB} \), deci trapezul \( PCFB \) isoscel, deci \( \angle{CPF}=\angle{CBF} \). Dar \( \angle{CPF}=\angle{HCE} \). Fiindca \( \angle{HCE}=\angle{CDE} \), obtinem ca \( CP \) este tangenta, c.c.t.d.