Cohomological Intersection Theory

[Mihai Fulger]

Fie k un corp algebric inchis de orice caracteristica si fie V o schema algebrica completa, de tip finit peste k.
Rezultatele sunt luate din cartea lui Badescu de suprafete care pentru asta urmeaza un articol al lui Kleiman care a introdus povestea asta.

1. Teorema lui Snapper: Fie F un fascicol coerent pe V si \( L_1,\ldots,L_t \) niste fibrati in drepte (nu neaparat diferiti) pe V. Atunci \( \chi(F\otimes L_1^{n_1}\otimes\ldots\otimes L_t^{n_t}) \) este functie polinomiala in \( n_1,\ldots,n_t \) de grad total cel mult s, dimensiunea suportului lui F, unde bineinteles \( \chi \) este suma alternanta a dimensiunilor coomologiilor, iar functie polinomiala inseamna ca este egala cu un polinom pentru \( n_i \) toti mari.

Definitie: Daca \( s\leq t \), atunci coeficientul lui \( n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_t \) din f se numeste numarul de intersectie al lui F cu \( L_1,\ldots,L_t \). Se noteaza \( (L_1\cdots L_t\cdot F)_V \)

Observatie: Daca \( s<t \), numarul de intersectie de mai sus este 0. Evident.

2. Lema: Numarul definit mai sus este o forma multiliniara, simetrica in \( L_i \)-uri

Conventii de notatie: \( (L_1\cdots L_t\cdot \mathcal O_W)_V=(L_1\cdots L_t\cdot W)_V \) pentru W subschema inchisa in V.
\( (L_1\cdots L_t\cdot V)_V=(L_1\cdots L_t)_V \)
\( (L_1\cdots L_t\cdot F)_V=(L^t\cdot F)_V \) daca toti \( L_i \) sunt L si asemanator grupam daca doar o parte sunt egali intre ei.

3. Cu \( L_i \) fixati, numarul de intersectie este aditiv in F pe siruri exacte scurte de fascicole cu suport de dimensiune cel mult t.

4. Daca D este un divizor in sistemul liniar \( L_1 \) si \( D\cap Ass(F)=\emptyset \), punand \( F_D=F\otimes\mathcal O_D \), \( (L_1\cdots L_t\cdot F)_V=(L_2\cdots L_t\cdot F_D)_D, \) in particular \( (L_1\cdots L_t)=(L_2\cdots L_t\cdot D) \) daca dim \( V\leq t \).

Va urma.

[Mihai Fulger]

Presupunem acum ca suportul lui F este continut in subschema inchisa W a lui V, asa ca subschema lui X definita de Ann(F) sa fie inchisa si in W. Atunci

5. Lema: Restrictionand F si fascicolele \( L_i \) la W, obtinem aceleasi numere de intersectie.

Fie \( V_i \) componentele lui V, \( \bar V_i \) reuniunea componentelor care nu sunt \( V_i \) si \( V_i^0=V_i\setminus\bar V_i \). \( V_i^0 \) este deschis in V si este si dens in \( V_i \). Atunci \( V_i \) are o structura bine definita de schema (cica se gaseste prin EGA, dar poate nu e asa de greu).

6. Lema: Exista un mod canonic de a restrictiona fascicole de la V la \( V_i \) si suma numerelor de intersectie care se obtin este numarul de intersectie pe V.

7. Lema: V ireductibila si \( dimV\leq t \). Fie \( x\in V \) punctul generic si \( d=lungimea_{\mathcal O_x}(F_x) \). Atunci \( (L_1\cdots L_t\cdot F)=d(L_1\cdots L_t\cdot V_{red}) \)

8. Propozitie: Daca W e inchisa in V si de dimensiune t, iar D este un divizor din sistemul liniar asociat reastrictiei \( L_{1,W} \) a lui \( L_1 \) la W: \( L_{1,W}=L_1\otimes\mathcal O_W \), atunci \( (L_1\cdots L_t\cdot W)=(L_2\cdots L_t\cdot D) \)

Morala propozitiei precedente e ca daca vrem sa intersectam o multime de divizori (ca fibrati), putem sa restrictionam problema pe oricare dintre ei (ca subvarietate de codimensiune 1).

Si inca va mai urma.