M-am tot gândit eu azi la o posibilă soluţie, dar după cum spuneam şi în
alt topic, mă cam supără detalii legate de existenţa elementelor nilpotente. Ca sa scap de griji, o să presupun că schema e integră, adică redusă şi ireductibilă. Sper să se poată repara ceva din soluţie pentru cazul general. Eu nu o să-mi mai bat acum capul cu asta
.
Schema e proiectivă peste un corp, deci avem dualitate Serre în cazul care ne interesează. Mai precis, există un fascicol dualizant
\( \omega \) pe
\( X \) astfel încât pentru orice fascicol coerent
\( \mathcal F \), grupul de coomologie
\( H^n(\mathcal F) \) e natural izomorf cu dualul lui
\( \mbox{Hom}(\mathcal F,\omega) \). În plus, dacă
\( \mathcal{O}(1) \) e un fascicol foarte amplu pe
\( X \), atunci orice fascicol coerent e cât al unei sume directe finite de twist-uri
\( \mathcal{O}(n) \). Dacă aplicăm şirul exact de coomologie şirului exact scurt rezultat, vedem că o să fie suficient să demonstrăm afirmaţia din enunţ pentru
\( \mathcal F \) inversabil. Cu dualitate Serre, problema s-a redus la a arăta că pentru orice fascicol inversabil
\( \mathcal F \), fascicolul
\( \mathcal{L}_t=D^{-t}\otimes\mathcal{F}^{-1}\otimes\omega \) nu are secţiuni nenule pentru
\( t \) mare. Sigur, exponentul
\( -1 \) al lui
\( \mathcal F \) poate să lipsească, dar am vrut ca notaţia să sugereze cum se leagă noua formulare a problemei de cea veche.
Presupunem că nu e aşa. Pentru
\( t \) mare, imi aleg multe secţiuni liniar independente ale lui
\( D^t \), care, dată fiind o secţiune nenulă a lui
\( \mathcal{L}_t \), o să inducă multe secţiuni ale produsului tensorial al celor două fascicole, care e
\( \mathcal{F}^{-1}\otimes\omega \). Dacă aş reuşi să arăt că aceste multe secţiuni sunt liniar independente, aş termina obţinând contradicţia căutată, pentru că spaţiul secţiunilor lui
\( \mathcal{F}^{-1}\otimes\omega \) are dimensiune finită. Pentru asta e suficient să arăt că dacă am două secţiuni
\( s,t \) pentru
\( D^t \) şi respectiv
\( \mathcal{L}_t \), atunci
\( s\otimes t \) e nenulă. Lucrez pe un deschis unde
\( D^t \) e liber de rang unu; pe un deschis şi mai mic
\( s \) o să fie inversabil (deja am folosit faptul că schema e redusă). Acolo
\( t \) va trebui să fie nulă pentru ca
\( s\otimes t \) să fie nulă. Rezultă că
\( \mathcal{L}_t \) şi deci şi
\( \omega \) are un subfascicol nenul cu suport
\( F \) de dimensiune strict mai mică decât
\( n \).
Fie acum
\( \mathcal I \) fascicolul de ideale care dă structura redusă a subschemei închise
\( F \). Paragraful de mai sus arată că
\( \omega \) are un subfascicol nenul
\( \mathcal G \) care e anihilat de o putere
\( \mathcal{I}^p \). Grupul
\( \mbox{Hom}(\mathcal G,\omega) \) va fi nenul, şi deci din dualitate Serre avem
\( H^n(\mathcal G)\ne 0 \). Asta este fals, din moment ce
\( \mathcal G \) e un fascicol coerent pe o schemă de dimensiune strict mai mică decât
\( n \) (anume subschema închisă a lui
\( X \) corespunzătoare fascicolului
\( \mathcal{I}^p \)).
) si credeam ca nu se face si altfel. De fapt este un caz putin mai general decat ceva care este caz particular de ce ziceam mai sus. Mai bine ignorati paragraful acesta deocamdata.