Acoperiri ale dreptei proiective

Mihai Fulger · Post by **Mihai Fulger** » Wed Apr 02, 2008 4:21 pm

Fie C o curba neteda completa pentru care exista un morfism finit de grad n peste $ \mathbb{P}^1 $. Atunci exista un fibrat local trivial peste $ \mathbb{P}^1 $ cu fibra $ \mathbb{P}^{n-1} $ in care C se scufunda astfel incat morfismul finit in $ \mathbb{P}^1 $ factorizeaza prin proiectia fibratului precedent.

Marian Aprodu · Post by **Marian Aprodu** » Sun Apr 06, 2008 3:51 pm

Detaliile de demonstratie se gasesc intr-un articol superb scris de Eisenbud si Harris, ce poate fi descarcat de pe pagina lui D. Eisenbud de la MSRI (s.n. "Varieties of minimal degree"), deci am sa dau numai ideea geometrica de demonstratie. Pentru a evita eventualele probleme, am sa lucrez peste $ \mathbb C $ si am sa notez morfismul de la $ C $ la $ {\mathbb P}^1 $ cu $ \varphi $. Alegem $ L $ un fibrat in drepte de grad suficient de mare. Atunci punctele din orice fibra $ D $ sunt proiectiv independente, conditia de independenta traducandu-se prin $ h^0(C,L(-D)) = h^0(C,L) - n $ (aici putem folosi faptul ca $ L $ este de grad suficient de mare si Teorema Riemann-Roch). Deci orice fibra $ $D$ $ genereaza un $ (n-1) $-plan proiectiv $ P_D $. Consideram varietatea obtinuta din reuniunea $ (n-1) $-subspatiilor proiective $ P_D $, unde $ D $ variaza in sistemul liniar (poate necomplet) care determina morfismul pe $ {\mathbb P}^1 $. Putem spune chiar mai mult: orice $ {\mathbb P}^{n-1} $-fibrat peste $ {\mathbb P}^1 $ provine dintr-un fibrat vectorial, deoarece $ H^2({\mathcal O}^*)=0 $. Un obiect obtinut ca aici se numeste rational normal scroll (in romaneste nu suna prea bine: rulouri rationale normale

) si generalizeaza notiunea de suprafata geometric riglata rationala. Articolul despre care vorbeam mai sus poate fi citit in paralel cu capitolul de suprafete din Hartshorne. Cu un pic de atentie totusi, pentru ca ei folosesc definitia lui Grothendieck (ca si in Hartshorne), adica un punct din spatiul proiectiv este un cat de dimensiune $ 1 $ al unui spatiu vectorial si nu un subspatiu de dimensiune $ 1 $.