Grup rezolubil cu subgrupurile abeliene finite este finit

[bae]

Aratati ca un grup rezolubil cu toate subgrupurile abeliene finite este finit.

[Dragos Fratila]

Vom folosi o lema:
----------------------------------------------------------
Daca G are proprietatea din enunt si are un subgrup N normal, abelian si G/N este abelian, atunci G este finit.
Dem.
Fie H un subgrup abelian maximal cu proprietatea ca H>N (folosim Zorn). Pentru ca G/N este abelian rezulta ca H este normal in G. Din maximalitate lui H rezulta ca actiunea lui G/H prin conjugare pe H este fidela (fara puncte fixe). Obtinem ca \( G/H\subset Aut(H) \)=finit (fiindca H, din ipoteza asupra lui G, este finit). Prin urmare G este finit.
(N-am folosit rezolubilitatea in aceasta lema.)
----------------------------------------------------------
Facem inductie dupa "derived series length": \( G>G^{(1)}>G^{(2)}>\ldots>G^{(n-1)}>G^{(n)}=1 \)
unde \( G^{(k+1)}=[G^{(k)},G^{(k)}]=(G^{(k)})^\prime \) si \( G^{(n-1)}\neq 1 \).

Daca n=2 atunci G' este finit, abelian si G/G' este abelian. Putem aplica lema si rezulta ca G este finit.
Daca n>2 atunci \( G/G^{(n-1)} \) are "derived series length"=n-1. Este evident rezolubil. Fie \( P/G^{(n-1)} \) un subgrup abelian in \( G/G^{(n-1)} \). Atunci P verifica ipotezele lemei (caci din rezolubilitatea lui G avem ca \( G^{(n-1)} \) este abelian) rezulta ca este finit. Din inductie \( G/G^{(n-1)} \) este finit, \( G^{(n-1)} \) este finit, deci G este finit.

[Dragos Fratila]

O solutie alternativa (cred):
Folosim inductie dupa n="derived series length"
daca n=1 e clar
Fie G grupul din ipoteza. G' are "derived series length"=n-1 si satisface conditia din ipoteza rezulta din inductie este finit.
Ne aflam in urmatoarele ipoteze:
G are propr ca orice subgr abelian este finit si G' este finit => G finit
(nu mai avem nevoie de rezolubilitatea lui G acum)

Vom construi niste niste caturi \( G_k \) ale lui G si niste subgrupuri \( H_k \) finite si normale in G, cu proprietatea ca \( G_k \) actioneaza prin conjugare pe \( H_k \).
Punem
\( H_0:=G^\prime \).
\( G_0:=G/Z(H_0) \).

Este clar ca \( G_0 \) actioneaza prin conjugare pe \( H_0 \). Daca exista \( g_1 \) (un reprezentant) in G_0 astfel incat \( g_1 \) actioneaza trivial pe \( H_0 \) (altfel spus, daca exista \( g_1 \) in \( G_0 \) (un reprezentant!) astfel incat \( g_1 \) comuta cu toate elementele lui G') atunci punem \( H_1=<H_0,g_1>\simeq H_0\times<g_1> \) care este finit (caci G e de torsiune si \( H_0 \) este finit) si normal in G (fiindca G/G' este abelian).
Punem \( G_k=G/Z(H_k) \).

Presupunem ca am construit \( H_k, G_k \). Daca \( G_k \) actioneaza (prin conjugare) pe \( H_k \) fara puncte fixe atunci \( G_k\subset Aut(H_k) \) si cum \( H_k \) este finit rezulta ca \( G_k \) este finit, dar \( G_k=G/Z(H_k) \) si \( Z(H_k) \) este finit, rezulta G finit si am terminat.

Daca nu, exista un \( g_{k+1}\in G_k \) (un reprezentant) astfel incat \( g_{k+1} \) actioneaza trivial pe \( H_k \). Punem \( H_{k+1}=<H_k, g_{k+1}>\simeq H_k\times<g_{k+1}> \) care e finit si normal in G. \( G_{k+1}=G/Z(H_{k+1}) \).

E clar ca subgrupurile \( <g_i> \) sunt toate distincte si ca \( g_i \)-urile comuta toate intre ele. Rezulta ca \( <g_1,g_2,\ldots> \) este finit (din ipoteza asupra lui G), in particular exista un numar finit de astfel de \( g_i \)-uri ceea ce inseamna ca la un moment dat \( G_k \) va actiona fara puncte fixe pe \( H_k \) si gata.