Grupul fundamental al unui grup de matrice

[Diana Putan]

Fie \( G=SL(2,\mathbb{R}) \) multimea matricelor reale \( 2\times 2 \) cu determinant 1, inzestrata cu topologia indusa de pe \( \mathbb{R}^4 \).

Care este grupul fundamental al lui \( G \)?

Admitere SNSB, 2001

[Sergiu Moroianu]

G este un grup (de ce?) si contine grupul SO(2) al matricilor de rotatie adica de tipul \( \begin{bmatrix}cos t & -sint \\ sin t & cos t \end{bmatrix} \). Fie U grupul matricilor supra-diagonale de determinant 1 cu diagonala pozitiva, adica de forma \( \begin{bmatrix}a & b\\ 0 & 1/a\end{bmatrix} \) cu a>0.
1) Exista o descompunere de multimi G = U x SO(2), adica orice element din G se scrie in mod unic ca produsul unei matrici din U cu una special ortogonala. Unicitatea e evidenta, existenta e usoara.
2) Bijectia aceasta este un homeomorfism (de fapt, difeo dar nu ne intereseaza).
De aici rezulta usor cine e \( pi_1(G) \) daca stim definitia.