Masura Lebesgue in plan

[Diana Putan]

Fie \( \lambda \) masura Lebesgue in plan si fie \( u,v\in\mathbb{R}^2 \). Pentru \( A\subset\mathbb{R}^2,\ \lambda(A)>0, \) definim

\( f(t)=\int_{A}{\chi_{A+tu}\cdot\chi_{A+tv}d\lambda. \)

(a) Aratati ca \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) este continua.

(b) Aratati ca orice multime masurabila din plan cu masura nenula contine varfurile unui triunghi echilateral.

Admitere SNSB, 2005

[Beniamin Bogosel]

a) Prima data presupunem ca \( A \) are masura finita.
Fie \( t_0 \in \mathbb{R} \) si \( t_n \to t_0 \). Atunci evident ca \( \chi_{A+t_nu}\chi_{A+t_nv} \to \chi_{A+t_0u}\chi_{A+t_0v} \). \( A \) este masurabila, deci si translatalele sale si functiile caracteristice ale acestora sunt masurabile Lebesgue.
Deoarece \( f(t)=\int_{\mathbb{R}^2}\chi_{A+tu}\chi_{A+tv}\chi_A d\lambda \) si functia de sub integrala e marginita de functia caracteristica a lui \( A \) care are integrala egala cu masura sa, adica finita, putem aplica teorema convergentei dominate a lui Lebesgue si schimbam limita cu integrala. Asta e echivalent cu \( f \) continua.

Pentru \( A \) infinita, pentru ca \( \mathbb{R} \) are masura \( \sigma \)-finita, exista o "spargere" a lui A intr-o familie cel mult numarabila de multimi cu masuri finite si disjuncte, pentru care aplicam ceea ce am demonstrat mai sus, si insumand obtinem tot o functie continua.
(aici nu sunt prea sigur...)

b) Deoarece functia data e continua si \( f(0)=\lambda(A)>0 \), exista o vecinatate a lui 0 pe care aceasta functie nu se anuleaza. Deci exista un \( t_0 \) nenul pentru care \( A\cap A+t_0u \cap A+t_0v\neq \emptyset \). Vectorii \( u,v \) pot fi alesi de orice lungime, si avand intre ei orice unghi. Deci putem gasi nu numai triunghiuri echilaterale, ci triunghiuri asemenea cu orice triunghi dat.

[aleph]

Demonstraţia punctului a) nu este corectă. Limita lui \( \chi_{A+t_nu} \) poate să nu existe în nici un punct.
În plus, în enunţ pentru punctul a), mulţimea A trebuie presupusă de măsura finită, altfel f poate fi infinită.

[Beniamin Bogosel]

Ati putea atunci sa-mi dati macar un indiciu in ce directie sa incerc o alta demonstratie pentru a)?

[Dragos Fratila]

Incearca cu \( \chi_{A+tv}(z) = \chi_{A}(z-tv) \) si o schimbare de variabile.
Exemplu in care treaba cu limita aia nu e adevarata cred ca merge ceva de genul \( A \) sa contina \( \mathbb{Q}v \) dar sa nu contina \( (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) v \).

vezi ca G-delta inseamna intersectie numarabila de multimi deschise

[aleph]

Pentru a obţine a) este preferabil să se demonstreze rezultatul mai general:
Dacă \( f \) este integrabilă şi mărginită pe \( \mathbb{R}^2 \) atunci aplicaţia
\( (p,q) \to \int f(x+p) f(x+q) f(x) dx \)
este continuă.

Pentru aceasta se consideră întâi cazul în care \( f \) este continuă cu suport compact iar apoi se aproximează \( f \) in norma \( L^1 \) cu o astfel de funcţie.
În final se ia \( f = \chi_{A} \).