Matricele antisimetrice au rangul par

[Bogdan Posa]

\( A \in M_{n}(\mathbb{C}) \) astfel incat \( A+A^T=O_{n} \). Aratati ca \( rang(A) \) este par.

[Bogdan Posa]

Aici poate fi gasita o solutie la aceasta problema. Poate sa imi explice cineva aceasta solutie ?

[bae]

***

[opincariumihai]

Problema este adevarata in conditiile urmatoare:
A antisimetrica cu elemente reale sau A antihermitiana cu elemente complexe.
Vom face demonstratia pentru A reala si antisimetrica.
Demonstratia la nivel de olimpiada ar fi cam asa:
1. A antisimetrica, rezulta polinomul minimal are radacini simple (se poate la nivel de clasa a XI-a daca s-ar face polinoame).
2. Daca polinomul minimal are radacini simple, atunci matricea este diagonalizabila (se demonstreaza usor la nivelul anului 1 facultate, dar se accepta rezultatul, ca si multe altele, pentru problemistica liceala).
3. Atunci rangul este egal cu numarul valorilor proprii nenule de pe diagonala principala. Mai ramane sa aratam ca acesta este par.
Cum valorile proprii nenule ale unei matrice antisimetrice reale se partitioneaza in multimi de forma {ai, -ai} se obtine concluzia.

[opincariumihai]

Observatie:
Daca A este simetrica sau antisimetrica, din \( A^2B=O \) rezulta \( AB=O_n \). (De aici se obtine imediat faptul ca in aceleasi conditii, din \( A^sB=O_n \), \( s\geq 1 \), rezulta \( AB=O_n \).)

Aceasta se arata astfel: din \( A^2B=O \) obtin \( B^tAA^tB=O \), rezulta \( (A^tB)^tA^tB=O \) si aplicand urma va rezulta \( \tr(CC^t)=0 \), adica \( C=A^tB=O_n \), de unde \( AB=O_n \).

Sa justificam 1.
O matrice antisimetica are valorile proprii fie nule, fie imaginare conjugate. Conform teoremei Caley-Hamilton avem:
\( A^s(A-aiI_n)^k(A+aiI_n)^k...=O_n \) unde s+2k+... = n. Rezulta \( A^s(A^2+a^2I_n)^k... = O_n \), deci \( A(A^2+a^2I_n)...=O_n \) (*)
de unde \( A(A-aiI_n)(A+aiI_n)...=O_n \) q.e.d.

Sa justificam acum (*).
A este antisimetrica si celelalte matrice care apar in produsul din (*) sunt simetrice.
Avem \( A^s(A^2+a^2I_n)^k...=O_n \), adica \( A^sB=O_n \), B fiind o matrice simetrica (produs de matrice simetrice). Deci \( A^{2(s-1)}B=O_n \) de unde conform observatiei anterioare \( A^{(s-1)}B=O_n \) si se reduce din aproape in aproape gradul pana obtinem \( AB=O_n \). Se procedeaza apoi analog cu fiecare dintre matricele \( (A^2+a^2I_n) \).

[bae]

1. si 2. Mai pe scurt, dar mai putin elementar: orice matrice normala este (unitar) diagonalizabila, iar matricele considerate sunt evident normale.

PS 1 Am unit cele doua posturi ale dvs, pentru a face expunerea mai coerenta.
PS 2 Se pare ca in cazul antihermitian apar ceva probleme in dem. dvs.

[opincariumihai]

PS 2 Se pare ca in cazul antihermitian apar ceva probleme in dem. dvs.

Totusi se poate arata asemanator ca daca A este antihermitiana, atunci A are polinomul minimal cu radacini simple.
Voi redacta candva.