Perechi de nr. nat. care verifica o relatie de egalitate

[Virgil Nicula]

Sa se determine perechile de numere naturale \( (x,y) \) astfel incat \( 11x+y+7=7xy\ . \)

[Filip Chindea]

Mai general, considerand un polinom bivariat de gradul \( 2 \), \( F \in \mathbb{Z}[X, Y] \), având coeficientii lui \( x^2, y^2 \) zero, ecuatia \( F(x, y) = 0 \) este \( bxy + dx + ey + f = 0 \), \( b, d, e, f \in \mathbb{Z} \), \( b \neq 0 \).
Aceasta se rescrie \( (bx+e)(by+d)=ed-bf \), care se reduce la un numar finit de sisteme (deoarece \( ed - bf \) este fixat).
In cazul de mai sus, \( b = 7, d = -11, e = -1, f = -7 \), egalitatea este echivalenta cu \( (7x - 1)(7y - 11) = 60 \), cu solutiile in \( \mathbb{N} \) \( (x, y) \in \{ (1, 3); (3, 2) \} \).

Pentru aprofundare, a se vedea:
[1] Andreescu, T., Andrica, D., O introducere in studiul ecuatiilor diofantiene, Editura GIL, Zalau
[2] Robertson, John P., Solving the equation ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0.
[3] Terr, David, "Bivariate Polynomial", de la MathWorld

[Filip Chindea]

Cred ca cel putin esenta este foarte clara! Ceea ce am dorit a fost sa introduc o generalizare care... termina problema (prea frecvent aparuta cu diverse constante). Insa ideile nu se epuizeaza aici.
Sa consideram, ca exemplu, întrebarea oferita anul trecut la examenul tip baraj seniori al institutului.
Subiectul 1. Sa consideram ecuatia în întregi pozitivi \( \frac{xy - C}{x + y} = k \).
a) Fixate \( C \) si \( k \), ecuatia are cel putin o solutie \( (x, y) \).
b) Pentru \( C \) si \( k \) date, ecuatia are un numar finit de solutii.
c) Pentru orice \( C \) si \( n \), exista \( k \) în functie de acestea astfel încât ecuatia are cel putin \( n \) solutii \( (x, y) \).

Este clar ca a-b) "pica" pe ceea ce am mentionat mai sus, iar o facila inductie ne finalizeaza solutia.

[George+++]

Da dar voi nu intelegeti un lucru!Acum voi fiind terminat scoala nu va puteti imagina cum gandeste un copil de clasa a VI-a in zilele noastre.putini copii mai muncesc pentru ca tentatiile sunt prea mari,de aceea ne mandrim cu cei care muncesc,dar un copil de clasa a VI-a care are in cap ce cere programa scolara nu poate intelege asa ceva.asa ca pentru ei s-ar prefera o rezolvare mai simpla,daca exista una,daca nu,problema poate fi plasata la un nivel mai inalt,cum ar fi olimpiad judeteana-unde o putem lasa copiilor ce munces.si daca tot suntem aici.vreau sa va spun un caz:un copil de clasa a VI-a anul trecut,la olimpiada judeteana, a rezolvat foarte repede subiectul de la clasa lui,prin urmare,a cerut subiectul de la clasa a VII-a,si la rezolvat complet si pe acesta,la festivitatea de premiere el a fost nominalizat la locul I la clasa 6 si la 7.cu maxim de puncte

[Omer Cerrahoglu]

Probabil ca e vorba de mine, nu? ...daca da e putin mai diferit....eu doream de la inceput sa le fac pe cele de a 7-a....

[Virgil Nicula]

Omer Cerrahoglu, daca tu esti acela, atunci iti dau un sfat de care sa tii seama in viata. Sa presupunem ca te-ai angajat la o firma sau intr-un institut de cercetare aplicativa si primesti o sarcina pe care trebuie sa o realizezi intr-un an, de exemplu. Tu, baiat istet, o faci mai repede, in cinci luni. Aici ai de ales : ori te duci la sef si-i spui ca esti "gata", ori taci si daca seful te va intreba "cum merge lucrarea" tu sa ii raspunzi "merge, merge, inca nu-i gata, dar sunt aproape". In prima varianta, seful te va felicita, dar sigur data viitoare termenele de realizare vor deveni de sase luni, adica ai devenit un spargator de norme de munca, mai rau decat un spargator de greva. In a doua varianta, in timpul ramas liber te poti ocupa, de exemplu, de teza de doctorat sau de orice altceva, dar cu condeiul in mana si o foaie de hartie in fata, ca seful tau tot nu va intelege, crezand ca te ocupi de tema. Iti rezervi astfel timp si pentru inovatii/inventii. Daca ai de gand sa faci cercetare fundamentala, atunci lucrurile se schimba. Mergi pe prima varianta/alternativa. In general este bine ca nu toti sa stie, si mai ales sefii, ceea ce sti tu in plus. De exemplu, daca ai talent la desen sau sti o limba straina sau sti informatica si seful tau stie acest lucru, fara ca asemenea cunostinte sa intre in fisa postului tau de munca, te asigur ca la nevoie te va solicita sa realizezi si asemenea treburi, insa de data aceasta gratuit. De exemplu, vin niste straini in vizita si te va chema sa-i insotesti pe post de translator de cand au sosit si pana cand vor pleca. Sau te va solicita sa proiectezi si sa realizezi niste desene pentru reclama produselor firmei etc. Pierzi cateva zile. In concluzie, in exprimare folclorica, sa-ti "vinzi" scump marfa intelectuala, adica "pielea". Numai bine, V.N.

[George+++]

Eu nu am spus ca fiecre copil nu lucreaza,ci ca sunt destul de putini,care,intradevar se gandsc de pe acum la vitor.si sa stiti ca sfatul domnului Virgil Nicula este de tinut minte.Unii nu lucreaza pentru ca nu-si dau seama cand si cum se vor complica lucrurile,si apoi,le pare rau ca n-au lucrat la timp!