Care sunt conditiile ca o functie sa nu fie marginita?
Moderator: Marius Dragoi
Care sunt conditiile ca o functie sa nu fie marginita?
Raspundeti la intrebarea din titlu.
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
\( f:A\to B\subset \mathbb{R} \) este marginita daca exista \( M>0 \) astfel incat \( |f(x)|\leq M,\ \forall x \in A \).
Yesterday is history,
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog
-
Marcelina Popa
- Bernoulli
- Posts: 208
- Joined: Wed Mar 05, 2008 3:25 pm
- Location: Tulcea
- Contact:
In majoritatea cartilor este data urmatoarea definitie echivalenta:
\( f:A\to B\subset \mathbb{R} \) este marginita daca exista \( a,\ b\in \mathbb{R} \) astfel incat \( a\le f(x)\leq b,\ \forall x \in A \).
Exemplu: functia \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\frac{1}{x^2+1} \) este marginita, fiindca toate valorile ei sunt cuprinse intre 0 si 1.
Exemplu de functie nemarginita: \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=x^2+x-3 \). Cum aratam ca este nemarginita: vom determina multimea tuturor valorilor pe care le ia \( f(x) \), multime notata cu \( f(\mathbb{R}) \).
Avem: \( y\in f(\mathbb{R}) \) daca si numai daca ecuatia \( f(x)=y \) are cel putin o solutie in domeniul lui \( f \), adica in \( \mathbb{R} \).
ecuatia \( f(x)=0 \) este de gradul 2, deci trebuie pusa conditia \( \Delta \ge 0 \), de unde obtinem: \( y\ge -\frac{13}{4} \), adica \( f(\mathbb{R})=[-\frac{13}{4},\infty) \). Rezulta ca f este nemarginita (superior), fiindca poate lua valori oricat de mari.
Nemarginirea se poate demonstra si prin reducere la absurd.
\( f:A\to B\subset \mathbb{R} \) este marginita daca exista \( a,\ b\in \mathbb{R} \) astfel incat \( a\le f(x)\leq b,\ \forall x \in A \).
Exemplu: functia \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\frac{1}{x^2+1} \) este marginita, fiindca toate valorile ei sunt cuprinse intre 0 si 1.
Exemplu de functie nemarginita: \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=x^2+x-3 \). Cum aratam ca este nemarginita: vom determina multimea tuturor valorilor pe care le ia \( f(x) \), multime notata cu \( f(\mathbb{R}) \).
Avem: \( y\in f(\mathbb{R}) \) daca si numai daca ecuatia \( f(x)=y \) are cel putin o solutie in domeniul lui \( f \), adica in \( \mathbb{R} \).
ecuatia \( f(x)=0 \) este de gradul 2, deci trebuie pusa conditia \( \Delta \ge 0 \), de unde obtinem: \( y\ge -\frac{13}{4} \), adica \( f(\mathbb{R})=[-\frac{13}{4},\infty) \). Rezulta ca f este nemarginita (superior), fiindca poate lua valori oricat de mari.
Nemarginirea se poate demonstra si prin reducere la absurd.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Re: Care sunt conditiile ca o functie sa nu fie marginita?
Dragul meu Alex, nu crezi ca unica ta propozitie din mesaj ar fi trebuit precedata de "Va rog ..." ?!alex2008 wrote:Raspundeti la intrebarea din titlu.
Cei doi remarcabili useri au fost foarte draguti ca ti-au raspuns prompt si la obiect, spre deosebire de mine ...
Tu sti ce inseamna ca o multime de numere reale este marginita ?
Tu sti ce inseamna multimea-imagine \( f(A) \) unei functii \( f:A\rightarrow B \) ?
Tu sti sa negi conjunctia a doua propozitii logice ?
Daca da, atunci functia \( f \) este marginita daca multimea \( f(A) \) este marginita etc ...