Fie \( ABC \) un triunghi ascutitunghic si \( A_1B_1C_1 \) triunghiul sau median. Consideram cercurile \( \omega_A = \gamma(A, BC) \), \( \Gamma_A = \gamma(A_1, AA_1) \), specificate prin centru respectiv raza, \( d_A \) axa radicala a \( \omega_A \) si \( \Gamma_A \) si constructiile analoage.
Aratati ca \( d_A \cap d_B \cap d_C \) este nevida.
[ DMO 2008, Problema 2 ]
Geometrie cu axe radicale
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Geometrie cu axe radicale
Life is complex: it has real and imaginary components.
O schita de solutie:
Notand \( A\prime=\omega_B\cap\omega_C \) se vede usor ca \( ABA\prime C \) este paralelogram si \( AA_1=A_1A\prime \)deci \( A\prime=\omega_B\cap\omega_C\cap\Gamma_A. \) Aceste 3 cercuri se mai taie o data in \( A\prime\prime \) simetricul lui \( A\prime \) fata de \( BC. \) Definim punctele \( B\prime,B\prime\prime,C\prime,C\prime\prime \)analog si se vede acum ca \( ABC \) este triunghiul median al lui \( \bigtriangleup A\prime B\prime C\prime \) iar \( A\prime A\prime\prime,B\prime B\prime\prime,C\prime C\prime\prime \)sunt inaltimi in \( \bigtriangleup A\prime B\prime C\prime \). Se verifica in final cu puterea punctului ca ortocentrul acestui triunghi se afla si pe cele 3 axe radicale.
Notand \( A\prime=\omega_B\cap\omega_C \) se vede usor ca \( ABA\prime C \) este paralelogram si \( AA_1=A_1A\prime \)deci \( A\prime=\omega_B\cap\omega_C\cap\Gamma_A. \) Aceste 3 cercuri se mai taie o data in \( A\prime\prime \) simetricul lui \( A\prime \) fata de \( BC. \) Definim punctele \( B\prime,B\prime\prime,C\prime,C\prime\prime \)analog si se vede acum ca \( ABC \) este triunghiul median al lui \( \bigtriangleup A\prime B\prime C\prime \) iar \( A\prime A\prime\prime,B\prime B\prime\prime,C\prime C\prime\prime \)sunt inaltimi in \( \bigtriangleup A\prime B\prime C\prime \). Se verifica in final cu puterea punctului ca ortocentrul acestui triunghi se afla si pe cele 3 axe radicale.