Limite de siruri (presupune o suma)

[mihai722]

1. Sa se calculeze limita sirului \( a_n=\frac{1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\dots+n\cdot n!}{-1+(n+1)!} \).

2. Sa se determine numerele naturale a, b pentru care
\( \lim(\frac{a\cdot n^2+n+a}{n^2+3})^{\frac{b\cdot n+2}{n+3}}=16 \).

La 1 e necesar doar suma sa o aflu ca limita o pot afla foarte usor.

Multumesc!

[Laurian Filip]

1. din cezaro stolz,
\( \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{(n+1)!*(n+1)}{(n+2)!-(n+1)!}=1 \)

2. din chestia aia cu limita la o fractie cu 2 polinoame avem ca
\( \lim_{n\to\infty} \frac{(a*n^2+n+a)}{n^2+3}=a \) si
\( \lim_{n\to\infty} \frac{bn+2}{n+3}=b \)

deci \( a^b=16 \)

[mihai722]

1. Nu stiu teorema lui cezaro stolz pentru ca nu am facut-o in clasa, daca poti te rog sa imi arati fara acea teorema.
2. si \( a^b= ? \)

[Laurian Filip]

daca ai 2 siruri \( a_n \) si \( b_n \), atunci

\( \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a{n}}{b_{n+1}-b_n} \)


2. a si b fiind naturale ai urmatoarele solutii \( (a,b)=\lbrace (2,4);(4,2);(16,1) \rbrace \)

[Bogdan Cebere]

\( \sum_{k=1}^{n}\ k! k=\sum_{k=1}^{n}\ k! (k+1-1)=\sum_{k=1}^{n}\ (k+1)!-\sum_{k=1}^{n}\ k!=(n+1)!-1 \)

[mihai722]

Multumesc pentru raspunsuri, Bogdan acela era raspunsul de care aveam nevoie nu ma prindeam de artificiul ala cu toate ca l-am folosit la un exercitiu precedent

[mihai722]

mai imi explici te rog la a doua limita? cu a si b? cum ai ajuns ca o limita este a si alta b ? ca mie imi dau infinit, dar cred ca gresesc

[Marcelina Popa]

mai imi explici te rog la a doua limita? cu a si b? cum ai ajuns ca o limita este a si alta b ?

Cauta in manual la limita raportului a doua polinoame (sau a unei functii rationale). O asemenea limita este intotdeauna egala cu limita raportului termenilor de grad maxim.

Daca inca n-ati facut teorema asta (asa cum dai de inteles), poti calcula cele doua limite dand factor comun fortzat pe \( n^2 \), respectiv pe \( n \). La prima, de exemplu, dand pe \( n^2 \) factor comun fortzat, obtii:

\( \lim\frac{n^2(a+\frac{1}{n}+\frac{a}{n^2})}{n^2(1+\frac{3}{n^2})}=a \)