Congruenta clasica

[Vlad Matei]

Fie \( p\equiv 3(mod \hspace{1mm} 4) \).Demonstrati ca \( \displaystyle \prod_{k=1}^{p}(k^{2}+1) \equiv 4 (mod \hspace{1mm} p) \).

[Filip Chindea]

Fie \( p\equiv 3(mod \hspace{1mm} 4) \).Demonstrati ca \( \displaystyle \prod_{k=1}^{p}(k^{2}+1) \equiv 4 (mod \hspace{1mm} p) \).

Fie \( p \) prim cu \( p \equiv 3 \pmod{4} \). Deci polinomul \( f = X^2 + 1 \) este ireductibil in \( \mathbb{Z}_p[X] \) si fie \( K = \mathbb{Z}_p[X]/(f) \).

Utilizand faptul binecunoscut ca \( \prod_{k \in \mathbb{Z}_p^{\ast}} (X - k) = X^{p - 1} - 1 \) (in \( \mathbb{Z}_p[X] \)), rezulta ca in \( K \)

\( \prod_{k \in \mathbb{Z}_p} (k^2 + 1) = \prod_{k \in \mathbb{Z}_p} (k^2 - X^2) = (-1)^{p+1} \left( \prod_{k \in \mathbb{Z}_p^{\ast}} (X - k) \right)^2 = 4 \), si totul e clar.

PS. As vrea sa vad si eu solutia aia clasica (unde? suntem la nivel de IMO aici, iar astfel de exercitii nu prea ar fi adecvate). Cu exceptia "traducerii" rezolvarii de mai sus, desigur.