SEEMOUS 2008, problema 2

[Alin Galatan]

Sunt destul de indecis unde sa pun problema asta: geometrie, analiza, sau algebra liniara .
Fie \( P_k \) un sir de poligoane, astfel incat varfurile lui \( P_{k+1} \) sunt mijloacele laturilor lui \( P_k \). Demonstrati ca exista un unic punct in intersectia interioarelor tuturor poligoanelor.

[Beniamin Bogosel]

Orice poligoane, chiar si concave?

[Dragos Fratila]

Eu zic ca dupa un numar finit de operatii chiar si cele concave vor deveni convexe, asa ca pb merge pt toate. De fapt eu cred ca merge pentru orice linie poligonala inchisa, chiar si cu autointersectii.

[Beniamin Bogosel]

Oficial, problema era cu pligoane convexe, asa ca o sa presupun si eu asta ca sa nu am complicatii.

Pentru fiecare poligon \( P_n \) consideram suma patratelor distantelor de la centrul de greutate la fiecare din varfuri si o notam cu \( G_n \). Aplicand formula medianei de \( n \) ori, ajungem la \( G_{n+1}=G_n-\frac{1}{4}\sum_{l-{\rm latura \\ pentru }\ P_n}l^2 \) (1).

De aici obtinem ca sirul \( (G_n) \) este descrescator si marginit de 0, deci are limita finita. Trecand la limita in (1) obtinem ca \( \lim_{n\to \infty}\sum_{l-{\rm latura \\ pentru }\ P_n}l^2=0 \). Imediat de aici rezulta ca sirul perimetrelor poligoanelor \( P_n \) tinde la 0 (2).

Acum daca ar exista 2 puncte in intersectie, aflate la distanta \( \alpha>0 \) atunci din inegalitatea triunghiului rezulta ca perimetrul oricarui poligon este mai mare decat \( \alpha \). Contradictie cu (2). Deoarece centrul de greutate este invariant pentru aceste poligoane, si apartine interiorului fiecaruia dintre ele, acest punct, centrul de greutate apartine tuturor poligoanelor. Deci intersectia are un singur punct.

[mihai miculita]

Punctul cautat este centrul de greutate al conturului (perimetrului) poligonului!

[Beniamin Bogosel]

Centrul de greutate al conturului nu coincide cu centrul de greutate al poligonului??? Nu inteleg ce doriti sa spuneti.

[mihai miculita]

In general cele doua centre de greutate nu coincid!
1. Daca \( (P_1)=A_1A_2\dots A_n \) este un poligon oarecare, atunci centrul lui de greutate G este centrul de greutate comun al tuturor poligoanelor \( (P_k);k\ge 1 \).
2. Daca poligonul initial este convex, atunci punctul G se gaseste in interiorul turturor acestor poligoane.

Punctul G este caracterizat vectorial prin proprietatea: \( \vec{GA_1}+\vec{GA_2}+\dots+\vec{GA_n}=\vec{0}. \)
Justificarea afirmatiei 1:
Notand cu \( M_{ij} \) mijlocul segmentului \( [A_1A_j] \), avem:
\( \vec{GM_{12}}=\frac {1}{2}.(\vec{GA_1}+\vec{GA_2}),\
\vec{GM_{23}}=\frac {1}{2}.(\vec{GA_2}+\vec{GA_3}),\ \dots, \)
\( \vec{GM_{n-1,n}}=\frac {1}{2}.(\vec{GA_{n-1}}+\vec{GA_n}),\
\vec{GM_{1n}}=\frac {1}{2}.(\vec{GA_1}+\vec{GA_n}) \Rightarrow \\
\Rightarrow \vec{GM_{12}}+\vec{GM_{23}}+\dots+\vec{GM_{n-1,n}}+\vec{GM_{1n}}=\vec{GA_1}+\vec{GA_2}+\dots+\vec{GA_n}=\vec{0}. \)
Asa ca poligoanele \( (P_1) \) si \( (P_2)=M_{12}M_{23} \dots M_{n-1,n}M_{1n} \), au acelasi centru de greutate G.
Observatie: In cazul in care poligonul \( (P_1) \) este concav, in general, centrul sau de greutate nu se gaseste in interiorul lui \( (P_1)[/tex \)

[Beniamin Bogosel]

Am inteles. Eu am zis in solutia mea de centrul de greutate al poligonului pentru ca in varianta oficiala problema era cu poligoane convexe, nu cu orice fel de poligoane.

Multumesc pentru explicatii.