Sigma-algebra numarabila

[Alin Galatan]

Exista o \( \sigma \)-algebra numarabila?

[Tiberiu Popa]

Frunzaresti Rudinul, nu? E de departe cea mai grea problema din primul capitol.

Din cate imi amintesc, solutia (bineinteles, n-am gasit-o eu) era ceva de genul:

Presupunem ca exista o \( \sigma \)-algebra numarabila.
Fiecarui \( x \) ii asociem \( S_x = \bigcap \left\{ S \in \sigma \ : \ x \in S \right\} \in \sigma \).
Apoi demonstram ca oricare ar fi \( x,y \) avem ori \( S_x = S_y \) ori \( S_x \cap S_y = \emptyset \).
Acum, daca \( S_x \)-urile sunt in numar finit, atunci \( \sigma \)-algebra e finita, contradictie.
Altfel, \( \sigma \)-algebra contine cel putin \( 2^{\aleph_0} \) elemente, contradictie din nou.

[Alin Galatan]

Solutia mea (care, la fel, construieste un sir de multimi 2 cate 2 disjuncte) e urmatoarea:
Pp. prin absurd ca \( \sigma \)-algebra e numarabila.
Construim inductiv un sir \( U_n \) de multimi nevide, doua cate doua disjuncte, cu reuniunea X.
Pt. doua, e evident.
Consideram n multimi construite.
Fie A o multime diferita de \( \emptyset \) si de orice reuniune a unor multimi din cele n anterioare. (Evident, putem alege una, intrucat avem o infinitate de multimi.)
Avem \( A=\cup_{i=1}^{n} (U_i\cap A) \). Daca \( \forall 1\leq i\leq n \) avem \( U_i \cap A\in \{\emptyset, U_i\} \), obtinem ca A este o reuniune finita de U-uri, absurd. Deci exista un j astfel ca \( U_j\cap A \) sa nu fie vid sau \( U_j \). Atunci \( U_{n+1} = A\cap U_j \) si pe \( U_j \) il modificam facandu-l sa fie \( U_j\backslash A \).
In momentul acesta, avem un sir de multimi nevide din \( \sigma \)-algebra ce partitioneaza pe X.
Construim \( f:[0,1]\to M \), unde M e submultime a \( \sigma \)-algebrei, M={reuniuni de \( U_n \)-uri}
\( f(x)=\cup U_i \), unde o multime \( U_i \) apare in reuniune daca pe pozitia i in scrierea lui x in baza 2 este 1. (Bineinteles, trebuie avut grija la perioade, pt. ca 0,01111... e acelasi lucru cu 0.1, dar aceasta nu e o problema.) Evident functia e injectiva, deci \( M \) e de puterea continuului, absurd.
Deci nu exista \( \sigma \)-algebre numarabile.

[Dragos Fratila]

Tibi: de unde stii ca atunci cand construiesti \( S_x \) acolo ai o intersectie cel mult numarabila ? De exemplu, daca sigma algebra e generata de o topologie mai dubioasa... sa zicem una care contine toate submultimile care il contin pe x (si in plus spatiul sa fie nenumarabil).

[Tiberiu Popa]

Tibi: de unde stii ca atunci cand construiesti \( S_x \) acolo ai o intersectie cel mult numarabila?

Pentru ca:

Presupunem ca exista o \( \sigma \)-algebra numarabila.