Determinati toate functiile \( f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^* \) astfel incat pentru orice \( m,n \in \mathbb{N}^* \) sa avem \( (f(m))^2+f(n)|(m^2+n)^2 \).
TST Romania 2005
Ecuatie functionala
Moderators: Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Schita de solutie:
Aratati \( f(1) = 1 \). Dupa aceea puneti \( m = 1, n = p - 1 \), cu \( p \) prim, de unde \( f(p - 1) = p - 1 \) pentru orice \( p \) prim suficient de mare. Concluzionati prin faptul ca daca \( f \) este identica pe o submultime infinita a lui \( \mathbb{N}^{\ast} \), atunci \( f \equiv \mathrm{id} \).
Aratati \( f(1) = 1 \). Dupa aceea puneti \( m = 1, n = p - 1 \), cu \( p \) prim, de unde \( f(p - 1) = p - 1 \) pentru orice \( p \) prim suficient de mare. Concluzionati prin faptul ca daca \( f \) este identica pe o submultime infinita a lui \( \mathbb{N}^{\ast} \), atunci \( f \equiv \mathrm{id} \).
Life is complex: it has real and imaginary components.