JBTST IV 2008, Problema 3
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
JBTST IV 2008, Problema 3
Sa se determine perechile (m,n) de numere intregi \( n,m>1 \), cu proprietatea ca \( mn-1 \) divide \( n^3-1 \).
-
Omer Cerrahoglu
- Euclid
- Posts: 34
- Joined: Mon Mar 17, 2008 1:08 pm
Avem ca \( \exists d \) natural nenul a.i. \( d(mn-1)=n^3-1 \Rightarrow
dmn-d=n^3-1 \Rightarrow n(dm-n^2)=d-1 \). Pentru d=1 avem \( mn-1=n^3-1 \Rightarrow m=n^2 \). In cele ce urmeaza presupunem ca \( d\geq 2 \). Avem ca \( n|d-1 \), deci \( \exists p \) natural nenul a.i. \( d-1=np \). Deci \( (np+1)m-n^2=p \Rightarrow n(pm-n)+m=p \). Avem ca \( d \leq \frac{n^3-1}{n-1} \Rightarrow d \leq n^2+n+1 \) . Deoarece \( d=np+1 \) avem ca \( np \leq n(n+1) \Rightarrow p \leq n+1 \). Daca \( pm-n \g 0 \) atunci \( p \geq m+n \). Deoarece \( m \g 1 \) avem ca \( p \g n+1 \) ceea ce este fals. Deci \( pm-n \leq 0 \). Daca \( pm-n=0 \) atunci \( p=m \) deci \( n=m^2 \). Daca \( pm-n < 0 \) atunci trebuie sa avem \( m < n \). Dar deoarece \( n(pm-n)+m=p \) si \( pm-n < 0 \) trebuie sa avem ca \( m \geq n \) ceea ce este fals deoarece trebuie sa avem \( m < n \). Deci singurele solutii sunt \( m=n^2 \) si \( n=m^2 \).
dmn-d=n^3-1 \Rightarrow n(dm-n^2)=d-1 \). Pentru d=1 avem \( mn-1=n^3-1 \Rightarrow m=n^2 \). In cele ce urmeaza presupunem ca \( d\geq 2 \). Avem ca \( n|d-1 \), deci \( \exists p \) natural nenul a.i. \( d-1=np \). Deci \( (np+1)m-n^2=p \Rightarrow n(pm-n)+m=p \). Avem ca \( d \leq \frac{n^3-1}{n-1} \Rightarrow d \leq n^2+n+1 \) . Deoarece \( d=np+1 \) avem ca \( np \leq n(n+1) \Rightarrow p \leq n+1 \). Daca \( pm-n \g 0 \) atunci \( p \geq m+n \). Deoarece \( m \g 1 \) avem ca \( p \g n+1 \) ceea ce este fals. Deci \( pm-n \leq 0 \). Daca \( pm-n=0 \) atunci \( p=m \) deci \( n=m^2 \). Daca \( pm-n < 0 \) atunci trebuie sa avem \( m < n \). Dar deoarece \( n(pm-n)+m=p \) si \( pm-n < 0 \) trebuie sa avem ca \( m \geq n \) ceea ce este fals deoarece trebuie sa avem \( m < n \). Deci singurele solutii sunt \( m=n^2 \) si \( n=m^2 \).