Diferite metode pentru calcularea unei sume...

[Beniamin Bogosel]

Postati aici diferite metode pentru calculul sumei \( \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2} \).

Eu cunosc cel putin 4 pana acum... si sunt destul de interesante.

[Mihai Berbec]

Suma respectiva poate fi obtinuta ca bonus urmand pasii de aici: http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=1063

[Cezar Lupu]

Beni, eu stiu 17 demonstratii pentru seria lui Euler, \( \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}=\frac{\pi^{2}}{6} \). De exemplu, 14 dintre demonstratii le poti gasi aici. Pentru celalalte 3, daca esti curios o sa le postez in acest topic.

[Beniamin Bogosel]

Eu am gasit una foarte interesanta, care foloseste teorema lui Tannery, pe care am postat-o tot aici la analiza reala.

Se poate demonstrat usor ca \( \frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sin^2 (x/2)}+\frac{1}{\sin^2 \frac{x+\pi}{2}}\right) \).

Aplicam repetat aceasta identitate si obtinem
\( 1=\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{2}}=...=\frac{1}{4^n}\sum_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}
}=\frac{2}{4^{n}}\sum_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}}=\\
=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{\frac{(2k+1)^{2}\pi^2}{4^{n+1}}}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\cdot }\frac{1}{(2k+1)^2} \).

Sa verificam acum ipotezele teoremei lui Tannery:

i) \( s(n) \) este suma noastra, care este finita.
ii) \( f_k(n)=\frac{\frac{(2k+1)^{2}\pi^2}{4^{n+1}}}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\cdot }\frac{1}{(2k+1)^2}\to \frac{1}{(2k+1)^2}=j_k \) pentru \( n \to \infty \).
iii) fiecare \( f_k \) este majorata de \( \frac{3}{(2k+1)^2}=M_k \).
iv) \( \sum M_k \) e convergenta.

Deci \( 1=\lim_{n\to \infty}s(n)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k\geq 0}j_k=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k+1)^2} \).

Deci \( \sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8} \). De aici suma initiala se calculeaza simplu.

[Cezar Lupu]

Da, Beni asta este una dintre cele 3 care nu se regasesc in survey-ul lui Robin Chapman. Ea a fost publicata in American Mathematical Monthly in anul 2002 de catre J. Hofbauer.

[Beniamin Bogosel]

Pai da. Dintr-un AMM am luat-o si eu... Probabil ca e aceeasi. Probabil ca inca una din celelalte e cu serii Fourier...

[Cezar Lupu]

Pai da. Dintr-un AMM am luat-o si eu... Probabil ca e acelasi.

101% sigur e acelasi.

P.S. Vezi ca intr-un alt AMM, imediat dupa, James Harper mai da inca o demonstratie plecand de la o integrala si folosind Fubini.