Combinatie de doua siruri tinde catre zero => sirurile...

[Dragos Fratila]

Fie \( a_n \), \( b_n \) doua siruri de numere reale astfel incat
\( \lim_{n\to\infty} [a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)]=0 \) pentru orice \( x \) din \( (0,1) \).
Atunci \( a_n, b_n\to 0 \).

[Beniamin Bogosel]

Fie \( x_n(x), \ x \in (0,1) \) sirul care tinde la 0 in enunt.

Pentru \( x=\frac{\pi}{4} \) rezulta ca
\( x_{4n}=a_{4n}\to 0 \Rightarrow b_{4n} \to 0\\
x_{4n+2}=b_{4n+2}\to 0 \Rightarrow a_{4n+2}\to 0 \).
Deci \( a_{2n},b_{2n}\to 0 \).

Mai departe nu-mi iese...

[Consonant]

Problema se poate rezolva mergand pe ideea demonstratiei lemei Cantor-Lebesgue din analiza Fourier. Mai mult, este suficient sa presupunem ca exista \( \epsilon>0 \) cu proprietatea ca \( a_n \cos\, nx+b_n\sin\, nx\rightarrow 0 \) pentru orice \( x\in(0,\epsilon) \). Demonstratia este netriviala pentru \( \epsilon \) mic, de exemplu \( \leq 1 \).

Mai precis, pentru \( n \) natural fie \( \rho_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} \) si \( \theta_n \) astfel incat \( a_n=\rho_n \cos\, n\theta_n \) si \( b_n=\rho_n \sin\, n\theta_n \). Presupunerea revine atunci la

\( a_n\cos\, nx+b_n\sin\, nx=\rho_n\cos\, n(x-\theta_n)\rightarrow 0 \) pentru \( n\rightarrow +\infty \) si orice \( x\in(0,\epsilon) \).

Demonstratia merge apoi prin reducere la absurd: presupunand ca \( \rho_n\not\rightarrow 0 \) rezulta ca exista \( \delta>0 \) cu proprietatea ca ingalitatea \( \rho_n\geq \delta \) este valabila pentru o infinitate de indici \( n \). Se construiesc prin inductie un sir de numere intregi \( (k_j) \) si un sir de intervale compacte \( (I_j) \) in \( (0,\epsilon) \), cu urmatoarele proprietati:

(1) \( k_j<k_{j+1} \);

(2) \( I_{j+1}\subseteq I_j \);

(3) \( k_{j+1}|I_j|>2\pi \);

(4) \( \rho_{k_{j}}\geq \delta \);

(5) \( \cos\, k_j(x-\theta_{k_j})\geq 1/2 \) pentru toti \( x\in I_{j} \).

Rezulta ca \( \bigcap_{j} I_j\neq \emptyset \) si deci exista \( x\in (0,\epsilon) \) pentru care \( \rho_{k_j}\cos\,k_j(x-\theta_{k_j})\geq \delta/2 \) pentru toti \( j \) naturali, ceea ce contrazice ipoteza.

Exista si o solutie "elementara"?

[Dragos Fratila]

Ne uitam la relatia: \( a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) = \rho_n \cos(n(x-\theta_n)) \).

Daca \( \rho_n\not\to0 \) atunci exista un subsir al sau \( \rho_{n_k} \) care nu tinde la 0, rezulta ca \( \cos(n_k(x-\theta_{n_k}))\to 0 \) si folosind teorema lui Lebesgue (convergenta dominata) rezulta ca (nu mai scriu \( n_k \) pentru ca ingreuneaza notatia)
\( \int_0^1 \cos^2(n(x-\theta_{n}))dx\to 0 \).
Se poate calcula aceasta integrala folosind formula unghiului dublu faptul ca sin si cos sunt marginite:
\( \int_0^1 \cos^2(n(x-\theta_{n}))dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{n}O(1)\to \frac12\neq 0 \). Contradictie.