Numere prime de la numaratorii H_n-urilor simplificate

[Ciprian Oprisa]

Fie \( \frac{\alpha_n}{\beta_n} \) o fractie ireductibila de forma \( \frac{\alpha_n}{\beta_n}=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}} \).
Un numar prim \( p \) se numeste bun daca \( \exists n \) astfel incat \( p \) sa divida \( \alpha_n \). Aratati ca multimea numerelor prime bune e infinita.

Internet Math Olympiad
Ariel University Center of Samaria

[Sabin Salajan]

Pentru fiecare p prim luam n=p-1.
Aducem suma la numitorul comun (p-1)! (care este prim cu p), la numarator vor aparea numerele de forma \( \frac{(p-1)!}{i} \). Deoarece in \( {Z}_p \) fiecare din numerele 1,2,...,p-1 sunt inversabile avem pentru un \( i \) oarecare ca \( {i}\cdot{i^{-1}}=1 \), deci \( {i}\cdot{i^{-1}}=-(p-1)! \) (am folosit aici Teorema lui Wilson).
Atunci \( \frac{(p-1)!}{i} \) (care este natural) este congruent cu \( -i^{-1} \), deci la numarator suma va fi congruenta cu \( -(1+2+...+p-1)=-{\frac{p(p-1)}{2}} \), suma divizibila cu p, ceea ce trebuia demonstrat.

Am demonstrat mai mult decat se cere si anume ca orice numar prim este bun (spuneti-mi daca am gresit, nu vreau sa mor prost ).

[Ciprian Oprisa]

Da, este corect, orice numar prim este bun. Demonstratia era ceva mai simpla.
Tot asa, iei \( n=p-1 \), p este impar, deci poti grupa primul cu ultimul, al doilea cu penultimul, etc, si la fiecare, iti iese la numarator p.