Divizor comun
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
-
Alin Galatan
- Site Admin
- Posts: 247
- Joined: Tue Sep 25, 2007 9:24 pm
- Location: Bucuresti/Timisoara/Moldova Noua
Divizor comun
Demonstrati ca \( (2^m+1,\ 2^n+1) \) este fie 1, fie \( 2^{(m,n)}+1 \) (m,n sunt numere naturale nenule).
-
Sabin Salajan
- Euclid
- Posts: 29
- Joined: Tue Apr 22, 2008 11:12 am
- Location: Satu Mare
fie \( (m,n)=d \) ; \( m=dx \) si \( n=dy \) cu \( (x,y)=1 \) si \( (2^m+1,2^n+1)=D \)
Avem 2 cazuri :
cazul I : x si y au paritati diferite => \( 2^m={M}_D-1 \)
\( 2^n={M}_D-1 \)
de aici avem pe de o parte \( 2^{dxy}=({M}_D-1)^y \)
si \( 2^{dxy}=({M}_D-1)^x \)
dar cum x si y au paritati diferite,unul va fi par ,altul impar deci vom avea \( {M}_D-1={M}_D+1 \) ,de unde \( D|2 \) => \( D=1 \)
cazul II : x si y au aceeasi paritate,ele nu pot fi pare,deci x si y sunt ambele impare
intai e evident ca \( 2^d+1|(2^d)^x+1=2^m+1 \)
si \( 2^d+1|(2^d)^y+1=2^n+1 \) ,asta deoarece x si y sunt impare
deci \( 2^d+1|D \)
acum trebuie sa demonstram \( D|2^d+1 \) de unde rezulta \( D=2^d+1 \)
Aici credeam ca am facut (de 2 ori) dar am descoperit ca gresisem ...
As fi recunoscator pt o solutie (macar la partea asta unde m-am blocat)
Avem 2 cazuri :
cazul I : x si y au paritati diferite => \( 2^m={M}_D-1 \)
\( 2^n={M}_D-1 \)
de aici avem pe de o parte \( 2^{dxy}=({M}_D-1)^y \)
si \( 2^{dxy}=({M}_D-1)^x \)
dar cum x si y au paritati diferite,unul va fi par ,altul impar deci vom avea \( {M}_D-1={M}_D+1 \) ,de unde \( D|2 \) => \( D=1 \)
cazul II : x si y au aceeasi paritate,ele nu pot fi pare,deci x si y sunt ambele impare
intai e evident ca \( 2^d+1|(2^d)^x+1=2^m+1 \)
si \( 2^d+1|(2^d)^y+1=2^n+1 \) ,asta deoarece x si y sunt impare
deci \( 2^d+1|D \)
acum trebuie sa demonstram \( D|2^d+1 \) de unde rezulta \( D=2^d+1 \)
Aici credeam ca am facut (de 2 ori) dar am descoperit ca gresisem ...
As fi recunoscator pt o solutie (macar la partea asta unde m-am blocat)