Sa se arate ca grupurile de matrice \( GL_m(\mathbb{Z}) \) si \( GL_n(\mathbb{Z}) \) sunt izomorfe daca si numai daca \( m=n \).
Ce se intampla daca in loc de \( \mathbb{Z} \) se considera un inel comutativ oarecare? Pentru ce inele se pastreaza proprietatea?
Grupuri liniare generale peste Z
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Argumentul următor funcţionează pentru domenii de integritate \( A \) care au caracteristica diferită de doi: afirm că în aceste condiţii, cardinalul maxim al unui subgrup \( G \) al lui \( GL_n(A) \) de exponent \( 2 \) (adică având proprietatea că \( x^2=1,\ \forall x\in G \)) este \( 2^n \). Concluzia rezultă imediat de aici.
Pe de o parte, avem subgrupul lui \( GL_n(A) \) alcătuit din matrice diagonale cu elementele \( \pm 1 \) pe diagonala principală, grup care are într-adevăr cardinalul \( 2^n \) pentru că \( -1\ne 1 \), caracteristica nefiind doi. Pe de altă parte, fie \( G\le GL_n(A) \) un subgrup de exponent doi. Putem presupune că lucrăm in grupul \( GL_n(K) \), unde \( K \) este închiderea algebrică a corpului de fracţii al lui \( A \). Elementele lui \( G \) sunt atunci diagonalizabile (fiecare are polinom minimal cu rădăcini distincte) simultan (grupul \( G \) e comutativ), deci grupul nostru \( G \) este transformat prin aplicaţia \( x\mapsto axa^{-1} \) pentru \( a\in GL_n(K) \) convenabil ales într-un subgrup al grupului despre care am vorbit mai sus, al matricelor diagonale cu elemente \( \pm 1 \).
Pe de o parte, avem subgrupul lui \( GL_n(A) \) alcătuit din matrice diagonale cu elementele \( \pm 1 \) pe diagonala principală, grup care are într-adevăr cardinalul \( 2^n \) pentru că \( -1\ne 1 \), caracteristica nefiind doi. Pe de altă parte, fie \( G\le GL_n(A) \) un subgrup de exponent doi. Putem presupune că lucrăm in grupul \( GL_n(K) \), unde \( K \) este închiderea algebrică a corpului de fracţii al lui \( A \). Elementele lui \( G \) sunt atunci diagonalizabile (fiecare are polinom minimal cu rădăcini distincte) simultan (grupul \( G \) e comutativ), deci grupul nostru \( G \) este transformat prin aplicaţia \( x\mapsto axa^{-1} \) pentru \( a\in GL_n(K) \) convenabil ales într-un subgrup al grupului despre care am vorbit mai sus, al matricelor diagonale cu elemente \( \pm 1 \).