Goodman si Hartshorne partea 1

[Mihai Fulger]

Fie X o schema algebrica de tip finit peste un corp k. Daca \( dim_kH^1(X,F)<\infty \) pentru orice fascicol coerent pe X, atunci X este afina.

Si doar atat este perfect gresit: mai trebuie si conditia ca nu contine curbe complete.

[Alexandru Chirvasitu]

Demonstraţia o să fie o inducţie după dimensiunea lui \( X \). Cazul iniţial, adică cel în care \( \dim X=1 \), doar o să-l schiţez.

Se ştie că o schemă separată de dimensiune \( 1 \) şi de tip finit peste un corp e afină dacă nu are componente ireductibile proprii. ar trebui deci ca din potezele noastre să deducem că schema \( X \) e separată, şi asta ar încheia demonstraţia pasului iniţial al inducţiei. Când dimensiunea e unu, aplicaţia canonică \( H^1(X,\mathcal{F})\to H^1(U,\mathcal{F}|_U) \) e surjectivă pentru orice deschis \( U \), lucru care se poate vedea folosind noţiunea de coomologie cu suport; asta înseamnă că pot să reduc problema la un deschis convenabil ales. Presupunând că schema noastră nu e separată, acest deschis o să poată fi ales de tipul "schemă afină cu un punct dublat", situaţie în care se contrazice uşor finitudinea dimensiunii lui \( H^1(X,\mathcal{O}_X) \) folosind coomologie Cech.

Acum să presupunem \( \dim X\ge 2 \) şi că afirmaţia a fost demonstrată pentru dimensiuni mai mici. Şmecherii ca cele despre care e vorba aici permit să presupunem şi că schema noastră e integră, lucru pe care o să-l fac ori de câte ori e nevoie, poate fară să mai menţionez asta în mod explicit.

Fie \( \mathcal I \) un fascicol coerent de ideale pe \( X \) şi \( x\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X) \) o secţiune nenulă a fascicolului structural al schemei \( X \). Această secţiune induce un morfism \( \mathcal I\to\mathcal I \). Presupunând că schema e integră, morfismul în cauză va fi mono, pentru că \( \mathcal I \) e subfascicol al fascicolului constant al funcţiilor raţionale; varianta afină a rezultatului acestuia este faptul că fiind dat un domeniu de integritate \( A \) cu corp de fracţii \( K \) şi un \( A \)-submodul \( M \) al lui \( K \), orice morfism \( M\to K \) e injectiv. Avem aşadar un şir exact scurt \( \mathcal 0\to I\to I\to F\to 0\ (*) \), cu prima săgeată dată de secţiunea globală \( x \) a lui \( \mathcal{O}_X \). În plus, primul morfism e izo în jurul punctului generic, deci suportul lui \( \mathcal F \) e un închis de dimensiune strict mai mică decât \( \dim X \).

Din ipoteza de inducţie, ştim că suportul lui \( \mathcal F \) e afin, deci \( H^1(\mathcal{F})=0 \). Asta înseamnă că în şirul exact de coomologie asociat lui \( (*) \) vom avea o surjecţie \( H^1(\mathcal{I})\to H^1(\mathcal{I}) \). Cum acest \( H^1 \) e finit dimensional, morfismul respectiv e izomorfism de \( k \)-spaţii vectoriale, indus, să nu uităm, de secţiunea \( x \). Avem deci un morfism de \( k \)-algebre \( \Gamma(\mathcal{O}_X)\to\mbox{End}_kH^1(\mathcal{I}) \), care trimite toate elementele nenule în elemente inversabile, după cum am vâzut. Dacă \( H^1(\mathcal{I}) \) ar fi nenul, asta ar însemna că morfismul respectiv este monomorfism - lucru imposibil, pentru că pe de o parte \( H^1(\mathcal{I}) \) e finit dimensional, iar pe de altă parte \( \Gamma(\mathcal{O}_X) \) e infinit dimensional, lucru ce se poate constata din şirul de coomologie asociat aplicaţiei \( \mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_Y\to 0 \) pentru o subschemă închisă \( Y \) de dimensiune cel puţin \( 1 \) dar strict mai mică decât \( \dim X \). Am obţinut deci faptul că \( H^1(\mathcal{I})=0 \) pentru orice fascicol coerent de ideale \( \mathcal I \) pe \( X \). Criteriul lui Serre ca o schemă să fie afină spune că în cazul ăsta \( X \) e într-adevăr afină.

[Mihai Fulger]

Definitie: Fie \( f:U\to V \) un morfism de scheme. Spunem ca U este o modificare a lui V (via f), daca:
a) f este proprie
b)\( f_*\mathcal O_U=\mathcal O_V \)
c)\( B=\{v\in V| dim_{k(v)}f^{-1}(v)>0} \) este o multime finita.

Situatii extreme: U proprie peste V=Spec(corp) sau U este un blow-up al lui V intr-o multime finita de puncte inchise.

Lema: Fie \( f:U\to V \) o modificare. Atunci \( dim_kH^1(U,F)<\infty \) (proprietatea * pentru V) pentru orice coerent F pe U daca si numai daca aceeasi proprietate o are si V.

Rezultat ajutator (vine din siruri spectrale: http://en.wikipedia.org/wiki/Five-term_exact_sequence): Pentru orice F coerent pe U, exista un sir exact \( 0\to H^1(V,f_*F)\to H^1(U,F)\to H^0(V,R^1f_*F) \)
----------------------------------------------------------------------------------------------
Povestea se indreapta catre un criteriu de a determina daca o schema este cvasi-afina si un criteriu pentru a determina daca complementul unui divizor este schema afina.

[Alexandru Chirvasitu]

Rezultatul ajutător provine din acel "five term exact sequence" (spre care trimite link-ul lui Mihai) asociat şirului spectral Leray.

Pentru că \( f \) e propriu şi imaginea directă a lui \( \mathcal{O}_U \) e \( \mathcal{O}_V \), fibrele sunt conexe. Rezultatul cred că e demonstrat pentru morfisme proiective prin Hartshorne, dar teoremele precedente pe care le foloseşte sunt valabile şi în cazul mai general al morfismelor proprii (după cum tot Hartshorne menţionează ). Asta înseamnă că fibrele zero dimensionale sunt de fapt puncte, şi rezultă de aici că o modificare e izomorfism deasupra deschisului \( X\subseteq V \) alcătuit din puncte cu fibră zero-dimensională. Într-adevăr, deasupra lui \( X \) morfismul \( f \) e bijecţie continuă şi inchisă, deci homeomorfism. Rezultă că pentru un punct \( p\in f^{-1}(X) \), sistemul de vecinătăţi \( f^{-1}(Y) \) unde \( Y \) e vecinătate deschisă a lui \( f(p) \) e cofinal în sistemul local de vecinătăţi al lui \( p \); cuplând această observaţie cu \( f_*\mathcal{O}=\mathcal{O} \), vom obţine un isomorfism \( \mathcal{O}_{V,f(p)}\to\mathcal{O}_{U,p} \).

Presupunând că \( V \) are proprietatea *, şi \( U \) o va avea; asta se poate vedea din rezultatul ajutător, folosind faptul că \( R^if_*,\ i>0 \) au suport finit, conform paragrafului de mai sus.

Reciproc, dacă \( U \) are *, atunci din acel şir exact rezultă că \( H^1(V,f_*\mathcal{F}) \) e finit dimensional pentru orice \( \mathcal F \) coerent pe \( U \). Dacă \( \mathcal G \) e coerent pe \( V \), atunci, folosind din nou paragraful anterior, deducem că \( \mathcal{G}\to f_*f^*\mathcal G \) e izomorfism pe complementul unei mulţimi finite, deci obţinem \( \dim\ H^1(V,\mathcal{G})<\infty \).

[Mihai Fulger]

Fie \( f:U\to V \) un morfism propriu si presupunem ca U indeplineste *, iar V nu contine curbe complete. Atunci multimea punctelor din V cu dimensiunea fibrei pozitiva este o multime finita.