Fie ABCD un patrulater convex. Notam M,N punctele de tangenta ale cercului inscris in triunghiul ABD cu laturile AB, AD respectiv si P,Q punctele de tangenta ale cercului inscris in triunghiul CBD cu laturile CD, CB respectiv. Daca cercurile inscrise in triunghiurile ABD si CBD sunt tangente, sa se arate ca:
a) Patrulaterul ABCD este circumscriptibil
b) Patrulaterul MNPQ este inscriptibil
c) Cercurile inscrise in triunghiurile ABC si ADC sunt tangente
JBTST II 2007, Problema 2
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
a)
Fie \( T \) punctul de tangenta a cercurilor. Atunci avem: \( CD=TD=ND=x \), \( AN=AM=y, \) \( BM=BT=BQ=z \), \( QC=CP=t \). Observam ca in patrulaterul ABCD, \( AB+CD=x+y+z+t=AD+BC \), deci patrulaterul \( ABCD \) circumscriptibil.
b)
Evident ca triunghiurile \( AMN, BMQ, CQP, DNP \) sunt isoscele. Atunci avem:
\( \angle{ANM}=90^\circ-\frac{\angle{A}}{2},\angle{PND}=90^\circ-\frac{\angle{D}}{2},\angle{CQP}=90^\circ-\frac{\angle{C}}{2}, \angle{BQM}=90^\circ-\frac{\angle{B}}{2}. \)
\( \angle{MNC}=180^\circ-(180^\circ-\frac{\angle{A}}{2}-\frac{\angle{D}}{2})
\angle{MQP}=180^\circ-(180^\circ-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{B}}{2}). \)
Observam ca \( \angle{MNC}+\angle{MQP}=360^\circ-(360^\circ-\frac{\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}+\angle{D}}{2})=180^\circ \), deci patrulaterul \( MNPQ \) - inscriptibil, c.c.t.d.
c)
Presupunem ca cercurile nu sunt tangente. Fie \( T_1 \) punctul de tangenta a cercului inscris triunghiului \( ABC \) la \( AC \), iar \( T_2 \) triunghiului \( ACD \). Fie \( T_1T_2=e \). Atunci avem: \( AE=AT_1=a \), \( AT_2=AH=a+e, \) \( HD=DG=b, GC=GT_2=c, CT_1=CF=c+e. \)
Fiindca patrulaterul \( ABCD este \) circumscriptibil avem:
\( AB+CD=AD+BC \)
\( (a+d)+(c+b)=(a+e+b)+(d+c+e) \)
\( 2e=0 \), deci \( T_1=T_2, \) deci cercurile inscrise triunghiurilor \( ABC, ACD \) sunt tangente, c.c.t.d.
Fie \( T \) punctul de tangenta a cercurilor. Atunci avem: \( CD=TD=ND=x \), \( AN=AM=y, \) \( BM=BT=BQ=z \), \( QC=CP=t \). Observam ca in patrulaterul ABCD, \( AB+CD=x+y+z+t=AD+BC \), deci patrulaterul \( ABCD \) circumscriptibil.
b)
Evident ca triunghiurile \( AMN, BMQ, CQP, DNP \) sunt isoscele. Atunci avem:
\( \angle{ANM}=90^\circ-\frac{\angle{A}}{2},\angle{PND}=90^\circ-\frac{\angle{D}}{2},\angle{CQP}=90^\circ-\frac{\angle{C}}{2}, \angle{BQM}=90^\circ-\frac{\angle{B}}{2}. \)
\( \angle{MNC}=180^\circ-(180^\circ-\frac{\angle{A}}{2}-\frac{\angle{D}}{2})
\angle{MQP}=180^\circ-(180^\circ-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{B}}{2}). \)
Observam ca \( \angle{MNC}+\angle{MQP}=360^\circ-(360^\circ-\frac{\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}+\angle{D}}{2})=180^\circ \), deci patrulaterul \( MNPQ \) - inscriptibil, c.c.t.d.
c)
Presupunem ca cercurile nu sunt tangente. Fie \( T_1 \) punctul de tangenta a cercului inscris triunghiului \( ABC \) la \( AC \), iar \( T_2 \) triunghiului \( ACD \). Fie \( T_1T_2=e \). Atunci avem: \( AE=AT_1=a \), \( AT_2=AH=a+e, \) \( HD=DG=b, GC=GT_2=c, CT_1=CF=c+e. \)
Fiindca patrulaterul \( ABCD este \) circumscriptibil avem:
\( AB+CD=AD+BC \)
\( (a+d)+(c+b)=(a+e+b)+(d+c+e) \)
\( 2e=0 \), deci \( T_1=T_2, \) deci cercurile inscrise triunghiurilor \( ABC, ACD \) sunt tangente, c.c.t.d.