Gasiti o extindere galoisiana a corpului numerelor rationale \( \mathbb{Q} \) de grup Galois \( \mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z} \).
Admitere SNSB 2002
Extindere galoisiana a lui Q
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Extindere galoisiana a lui Q
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
Fie \( \varepsilon \) o radacina primitiva a unitatii de ordin 7.
Atunci \( G=Gal(Q(\varepsilon)/Q) \) este ciclic de ordin 6 (e izomorf cu \( Z_7^* \) ).
Fie H subgrup in G de indice 3 (H este generat de 6 modulo 7). Din teorema fundamentala a teoriei Galois rezulta ca \( K:=Q(\varepsilon)^H \) este Galois peste Q si are gradul =[G:H]=3.
Concret, \( G=\{\phi_i:Q(\varepsilon)\to Q(\varepsilon), \phi_i(\varepsilon)=\varepsilon^i, i=1,2,...,6\} \) si \( H=<\phi_6>=\{\phi_1=Id,\phi_6\} \)
Rezulta ca \( K=Q\left(\varepsilon+\frac1{\varepsilon}\right) \).
Polinomul minimal al lui \( \varepsilon+\frac1\varepsilon=2\cos(2\pi/7) \) este \( X^3+X^2-2X-1 \)
Atunci \( G=Gal(Q(\varepsilon)/Q) \) este ciclic de ordin 6 (e izomorf cu \( Z_7^* \) ).
Fie H subgrup in G de indice 3 (H este generat de 6 modulo 7). Din teorema fundamentala a teoriei Galois rezulta ca \( K:=Q(\varepsilon)^H \) este Galois peste Q si are gradul =[G:H]=3.
Concret, \( G=\{\phi_i:Q(\varepsilon)\to Q(\varepsilon), \phi_i(\varepsilon)=\varepsilon^i, i=1,2,...,6\} \) si \( H=<\phi_6>=\{\phi_1=Id,\phi_6\} \)
Rezulta ca \( K=Q\left(\varepsilon+\frac1{\varepsilon}\right) \).
Polinomul minimal al lui \( \varepsilon+\frac1\varepsilon=2\cos(2\pi/7) \) este \( X^3+X^2-2X-1 \)
"Greu la deal cu boii mici..."