Regularitate Castelnuovo-Mumford

[Mihai Fulger]

Fie F un fascicol coerent pe un spatiu proiectiv P peste un corp algebric inchis si fie m un numar intreg. Spunem ca F este m-regulat in sensul Castelnuovo-Mumford, daca \( H^i(F(m-i))=0 \) pentru toti i>0.

Teorema I (Mumford) Fie F m-regulat (in acelasi sens) ca mai sus. Atunci pentru toti k\geq 0:
i) F(m+k) este global generat.
ii) Aplicatiile naturale \( H^0(F(m))\otimes H^0(\mathcal O(k))\to H^0(F(m+k)) \) sunt surjective
iii) F este (m+k)-regulat

Teorema II Acelasi lucru, daca inlocuim fibratul foarte amplu \( \mathcal O(1) \) cu un amplu global generat.

Propozitie O extensie de fascicole m-regulate este m-regulata.
Daca F este m-regulat, E este l-regulat, iar E este fibrat vectorial, atunci \( E\otimes F \) este (m+l)-regulat. \( T^pE \), a p-a putere tensoriala a lui E este pm-regulata, si acelasi lucru se intampla pentru puteri simetrice sau exterioare. Ultimele doua nu merg decat in caracteristica 0.

Propozitie F-coerent. Atunci F este m-regulat daca si numai daca admite o rezolutie liniara: sir exact posibil infinit \( \ldots\to\oplus\mathcal O(-m-2)\to\oplus\mathcal O(-m-1)\to\oplus\mathcal O(-m)\to F\to 0 \) in care termenii cu \( \oplus \) sunt sume de acelasi fibrat care urmeaza.

Pentru un F, cel mai mic m pentru care F este m-regulat, se numeste regularitatea Castelnuovo-Mumford a lui F.

Rezultatele sunt luate din Positivity in Algebraic Geometry de Robert Lazarsfeld.