O problema cu factorizarea la un element regulat

[Mircea Cimpoeas]

Fie M un S-modul si N un submodul al lui M. Fie \( P\in Ass(M/N) \) cu \( P=Ann(z) \). Fie u un element regulat pe M. Este adevarat ca \( (N+uM+Sz)/(N+uM) =S/(P,u) \)?
M-ar interesa in cazul particular: \( S=K[x_1,\ldots,x_n] \), u monom si M,N sunt module \( \mathbb{N}^n \)-graduate.

[Mihai Fulger]

Problema se reduce, dupa o serie de cateva teoreme de izomorfism, la a arata ca \( S\hat z\cap u(M/N)=(P,u)\hat z \). Cel din urma este acelasi lucru cu \( (Su)\hat z \), fiindca \( P\hat z=0 \).

Partea cu teoremele de izomorfism: \( \frac{N+uM+Sz}{N+uM}\simeq\frac{(N+uM+Sz)/N}{(N+uM)/N}\simeq
\frac{(Sz+N)/N}{(Sz+N)/N\cap (uM+N)/N} \). Avem \( P=Ass(\frac{Sz+N}N) \), iar necesitatea afirmatiei din paragraful precedent rezulta folosind izomorfismul \( \frac S{(P,u)}\simeq\frac{S/P}{(Su+P)/P} \) si facand identificarile evidente.

Esti sigur ca nu vrei u sa fie un element regulat pe M/N in loc de M? Nu zic ca e imposibil, dar mi se pare greu sa valorifici ipoteza aceasta cand lucrezi pe catul M/N