Sectiuni independente

[Mihai Fulger]

Fie X o varietate algebrica peste un corp k (poate algebric inchis) si L un fibrat in drepte cu doua sectiuni s si t liniar independente.
Atunci imaginile \( \{s^k\otimes t^{m-k}|\ k=\overline{0,m}\} \) sunt liniar independente in \( L^{\otimes m} \) pentru orice \( m>0 \).

In consecinta, in coditiile de mai sus, \( h^0(mL)\stackrel{not}= dim_k H^0(L^{\otimes m}) \) are o crestere asimptotica cel putin liniara.

[Alexandru Chirvasitu]

O să presupun doar că \( X \) e schemă ireductibilă de tip finit peste un corp \( k \).

Fie \( U\subset X \) deschisul unde secţiunile \( s,t \) generează fascicolul \( \mathcal L \). Ele induc atunci un morfism \( \varphi:U\to\mathbb{P}^1_k \) al lui \( U \) în dreapta proiectivă peste \( k \). În plus, pentru că cele două secţiuni sunt liniar independente peste \( k \), ştim că \( \varphi \) e neconstant. Imaginea lui trebuie deci să fie un deschis nevid al dreptei proiective. Secţiunile \( s^kt^{m-k} \) induc un morfism de la \( U \) în spaţiul proiectiv \( \mathbb{P}^m_k \), morfism care nu e nimeni altul decât compunerea a ceea ce se cheamă "m-uple embedding" \( i_m:\mathbb{P}^1_k\to\mathbb{P}^m_k \) (nu ştiu termenul în română ) cu \( \varphi \). Cum prin \( i_m \) dreapta proiectivă se transformă într-o curbă care nu e conţinută în niciun hiperplan al lui \( \mathbb{P}^m_k \) (lucru uşor de verificat), rezultă că nici imaginea lui \( U \) prin morfismul indus de secţiunile \( s^kt^{m-k} \) nu e conţinută în niciun hiperplan; asta înseamnă exact ce voiam să demonstrăm, anume că secţiunile respective sunt liniar independente peste \( k \).

[Mihai Fulger]

Frumos.
Termenul acela cred ca e scufundarea Veronese.

[Alexandru Chirvasitu]

Vreau să adaug ceva: eu am presupus că schema e ireductibilă şi de tip finit, dar cred că soluţia de mai sus nu merge în cazul ăsta general. Cred că am nevoie şi ca \( X \) să fie redusă: altfel nu am nici o garanţie că secţiunile \( s,t \) generează \( \mathcal L \) pe un deschis nevid. Ar putea de exemplu să fie secţiuni ale fascicolului \( \mathcal JL \), unde \( \mathcal J \) e fascicolul elementelor nilpotente.

Dificultăţi asemănătoare întâmpin şi când încerc să rezolv o altă problemă de aici.

[claude]

Daca privesti \( \mathcal L \) ca subfascicol in fascicolul constant de functii rationale, produsul tensorial e doar inmultire, si eventuala dependenta liniara a sectiunilor \( s^k\cdot t^{m-k} \) se traduce in faptul ca \( s/t \) e radacina unui polinom peste \( k \), deci e un element din \( k \) (\( k \) trebuie sa fie algebric inchis). Deci \( X \) trebuie sa fie redusa si ireductibila peste un corp algebric inchis. Daca renunti la oricare din presupunerile X redusa, ireductibila, sau k algebric inchis \( Spec(k[X]/(P)) \) cu \( \mathcal{L}=\mathcal{O}_X \) si \( P \) bine ales da un contraexemplu.

[Marian Aprodu]

Problema pusa de Mihai se generalizeaza la cazul mai multor sectiuni. Fie \( X \) o varietate ireductibila peste un corp algebric inchis \( k \), \( L \) un fibrat in drepte pe \( X \) si \( V\subset H^0(X,L) \) un spatiu de dimensiune \( r+1 \) cu \( r\ge 1 \). Avem o aplicatie rationala indusa de \( V \), \( \varphi:X\rightarrow \mathbb{P}^r \) (intrebare de latex: cum se face o sageata punctata ? ca eu nu am reusit...) si notam cu \( Y \) inchiderea imaginii lui \( \varphi \); este o subvarietate nedegenerata. Atunci aplicatia naturala indusa de multiplicarea sectiunilor \( S^mV\to H^0(L^{\otimes m}) \) va avea un nucleu, care este izomorf cu spatiul formelor omogene de grad \( m \) care se anuleaza pe \( Y \) . In cazul in care \( Y \) coincide cu spatiul \( \mathbb{P}^r \) , atunci acest nucleu este zero, deci aplicatia de multiplicare a sectiunilor este injectiva. In cazul \( r=1 \), \( Y \) trebuie sa coincida cu \( \mathbb{P}^1 \) pentru ca \( \mathbb{P}^1 \) nu are subvarietati proprii nedegenerate.