Sir cu o infinitate de termeni primi intre ei

[Octav Ganea]

Sa se arate ca sirul {\( 2^n-3 \)} contine o infinitate de termeni primi intre ei doi cate doi.

[Laurian Filip]

\( \varphi(k) \) - indicatorul lui Euler (numarul numerelor prime cu k mai mici decat k).
Se stie ca \( 2^{\varphi(x)\cdot k}\equiv 1 \pmod x \), de unde \( 2^{\varphi(x)\cdot k}-3\equiv -2 \pmod x \).
In sirul nostru toate numerele sunt impare deci \( (x,2)=1 \), de unde \( ( \)\( 2^{\varphi(x)\cdot k-3 \),\( x \)\( ) \)=1

Construim sirul luand primul element \( a_1=2^{\varphi(5)}-3 \), urmatorul \( a_2=2^{\varphi(a_1)}-3 \).
Rezulta \( (a_2,a_1)=1 \).
\( a_3=2^{\varphi(a_1)\cdot \varphi(a_2)}-3 \)
Rezulta \( (a_3,a_1)=1 \) si \( (a_3,a_2)=1 \).

\( a_n=2^{\varphi(a_1)\cdot \varphi(a_2) \cdot ... \cdot \varphi(a_{n-1})}-3 \) si \( (a_n,a_1)=1,\ (a_n,a_2)=1, \) ... \( ,\ (a_n,a_{n-1})=1 \)

Acest sir va avea o infinitate de termeni toti primi intre ei.