Discul maxim in care o olomorfa are o dezvoltare

[Alin Galatan]

Nu stiu sigur daca e adevarat, dar intuitiv, asa imi pare. Astept un raspuns:
E adevarat ca daca o functie e olomorfa intr-un punct, atunci raza de convergenta a seriei Taylor in acel punct este maxima, in sensul ca frontiera discului corespunzator atinge frontiera domeniului de definitie?
Ca o consecinta: O functie intreaga are raza de convergenta infinit in orice punct?O intrebare alternativa: Daca o functie olomorfa pe un disc deschis, are limita finita in orice punct de pe frontiera, atunci poate fi prelungita pe un alt disc, concentric?
Ceva echivalent pt. real: Daca o functie este analitica in jurul lui x, pe (x-R,x+R) unde R e raza de converngenta, atunci macar intr-un punct de pe frontiera (deci x-R sau x+R) functia are limita infinit sau nu are limita?

Mi-au venit in minte in timp ce ma plimbam, si fac de putin timp analiza complexa.. deci daca e ceva banal sau cunoscut, va rog sa ma scuzati

[aleph]

Î1. E adevarat ca daca o functie e olomorfa intr-un punct, atunci raza de convergenta a seriei Taylor in acel punct este maxima, in sensul ca frontiera discului corespunzator atinge frontiera domeniului de definitie?

R1. Da, deoarece orice funcţie olomorfă într-un disc deschis are dezvoltare Taylor în acel disc.


Î2. Ca o consecinta: O functie intreaga are raza de convergenta infinit in orice punct?

R2. Evident.


Î3. Daca o functie olomorfa pe un disc deschis, are limita finita in orice punct de pe frontiera, atunci poate fi prelungita pe un alt disc, concentric?

R3. Nu neapărat. E.g. \( f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}z^n/n^2 \) pe discul unitate.


Î4. Ceva echivalent pt. real: Daca o functie este analitica in jurul lui x, pe (x-R,x+R) unde R e raza de converngenta, atunci macar intr-un punct de pe frontiera (deci x-R sau x+R) functia are limita infinit, sau nu are limita?

R4. Nu, acelaşi exemplu.