Fie \( f:X\to Y \) o aplicatie proprie birationala (in particular proprie) de varietati algebrice cu Y normala si D un divizor in X pentru care codimensiunea lui f(Y) este cel putin 2. Atunci \( f_*O_X(D)=O_Y \).
[erata]: Multumesc lui grobber pentru observatia ca nu era corecta problema pentru f doar birationala.
Si D trebuie sa fie efectiv.
Din nou aplicatie birationala
Moderator: Mihai Fulger
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
Din nou aplicatie birationala
Last edited by Mihai Fulger on Sat Mar 15, 2008 8:22 pm, edited 1 time in total.
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
În primul rând, imaginea directă a fascicolului \( \mathcal{O}_X \) e izomorf cu \( \mathcal{O}_Y \). Prin asta înţeleg că morfismul \( \mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X \) indus de \( f \) e izomorfism. Demonstrez asta mai jos:
Pentru că afirmaţia e de natură locală pe \( Y \), pot să presupun că \( Y=\mbox{Spec}~A \) pentru un inel \( A \). Acum \( f_*\mathcal{O}_X \) o să fie un fascicol coerent pe \( Y \) (coerent pentru că \( f \) e propriu), deci corespunde unei \( A \)-algebre întregi peste \( A \) şi cu acelaşi corp de fracţii ca şi \( A \), pentru că \( f \) e biraţional. Cum \( A \) e întreg închis, am terminat de demonstrat afirmaţia din paragraful precedent.
O să notez imaginea lui \( \mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D) \) cu \( \mathcal F \). În afara suportului lui \( D,\ \mathcal L \) e chiar \( \mathcal{O}_X \). Asta înseamnă că \( \mathcal{F}=\mathcal{O}_Y \) pe deschisul \( U=Y\setminus f(D) \) (un morfism propriu e aplicaţie închisă, deci \( U \) e într-adevăr deschis).
Acum ne mutăm cu totul pe \( Y \), şi \( i:U\to Y \) va fi incluziunea. Cum un domeniu Noetherian întreg închis e intersecţia tuturor localizărilor lui la ideale de înălţime \( 1 \) (intersecţia făcându-se în corpul de fracţii al inelului în cauză) şi complementul lui \( U \) în \( Y \) are codimensiune cel puţin \( 2 \), orice secţiune a lui \( \mathcal{O}_Y \) deasupra lui \( U \) se extinde unic la întreg \( Y \). Asta nu înseamnă nimic altceva decât că morfismul canonic \( \mathcal{O}_Y\to i_*\mathcal{O}_U \) e izomorfism.
Ne uităm la morfismul canonic \( \mathcal{F}\to i_*i^*\mathcal{F}=i_*\mathcal{O}_U=\mathcal{O}_X \). Nucleul său este fascicolul \( \mathcal{H}_{f(D)}^0(\mathcal{F}) \) generat de secţiunile lui \( \mathcal F \) cu suport conţinut în \( f(D) \). Aceste secţiuni (pe orice deschis) sunt în corespondenţă bijectivă cu secţiunile lui \( \mathcal L \) cu suport conţinut în \( f^{-1}(f(D)) \), şi asemenea secţiuni nenule nu există: reduc problema la un deschis afin în \( X \) suficient de mic încât \( \mathcal L \) să fie liber de rang \( 1 \), şi se observă că un element nenul al unui domeniu de integritate nu e anihilat în nici o localizare. Concluzia este că \( \mathcal{H}_{f(D)}^0(\mathcal{F})=0 \), şi deci \( \mathcal F \) este fascicol coerent de ideale pe \( Y \).
Acum, pe de altă parte, \( \mathcal{L} \) se construieşte ca un subfascicol al fascicolului constant al corpului de fracţii pe \( X \) şi astfel încât inversul \( \mathcal{L}^{-1} \) să fie chiar fascicolul de ideale ce defineşte divizorul \( D \) (care e divizor efectiv, presupun, nu? eu aşa am înteles). Rezultă deci că fascicolul de ideale \( \mathcal{F}=f_*\mathcal L \) conţine de fapt fascicolul structural \( \mathcal{O}_X=f_*\mathcal{O}_Y \), deci trebui să avem \( \mathcal{F}=\mathcal{O}_Y \), ceea ce doream să arătăm.
Pentru că afirmaţia e de natură locală pe \( Y \), pot să presupun că \( Y=\mbox{Spec}~A \) pentru un inel \( A \). Acum \( f_*\mathcal{O}_X \) o să fie un fascicol coerent pe \( Y \) (coerent pentru că \( f \) e propriu), deci corespunde unei \( A \)-algebre întregi peste \( A \) şi cu acelaşi corp de fracţii ca şi \( A \), pentru că \( f \) e biraţional. Cum \( A \) e întreg închis, am terminat de demonstrat afirmaţia din paragraful precedent.
O să notez imaginea lui \( \mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D) \) cu \( \mathcal F \). În afara suportului lui \( D,\ \mathcal L \) e chiar \( \mathcal{O}_X \). Asta înseamnă că \( \mathcal{F}=\mathcal{O}_Y \) pe deschisul \( U=Y\setminus f(D) \) (un morfism propriu e aplicaţie închisă, deci \( U \) e într-adevăr deschis).
Acum ne mutăm cu totul pe \( Y \), şi \( i:U\to Y \) va fi incluziunea. Cum un domeniu Noetherian întreg închis e intersecţia tuturor localizărilor lui la ideale de înălţime \( 1 \) (intersecţia făcându-se în corpul de fracţii al inelului în cauză) şi complementul lui \( U \) în \( Y \) are codimensiune cel puţin \( 2 \), orice secţiune a lui \( \mathcal{O}_Y \) deasupra lui \( U \) se extinde unic la întreg \( Y \). Asta nu înseamnă nimic altceva decât că morfismul canonic \( \mathcal{O}_Y\to i_*\mathcal{O}_U \) e izomorfism.
Ne uităm la morfismul canonic \( \mathcal{F}\to i_*i^*\mathcal{F}=i_*\mathcal{O}_U=\mathcal{O}_X \). Nucleul său este fascicolul \( \mathcal{H}_{f(D)}^0(\mathcal{F}) \) generat de secţiunile lui \( \mathcal F \) cu suport conţinut în \( f(D) \). Aceste secţiuni (pe orice deschis) sunt în corespondenţă bijectivă cu secţiunile lui \( \mathcal L \) cu suport conţinut în \( f^{-1}(f(D)) \), şi asemenea secţiuni nenule nu există: reduc problema la un deschis afin în \( X \) suficient de mic încât \( \mathcal L \) să fie liber de rang \( 1 \), şi se observă că un element nenul al unui domeniu de integritate nu e anihilat în nici o localizare. Concluzia este că \( \mathcal{H}_{f(D)}^0(\mathcal{F})=0 \), şi deci \( \mathcal F \) este fascicol coerent de ideale pe \( Y \).
Acum, pe de altă parte, \( \mathcal{L} \) se construieşte ca un subfascicol al fascicolului constant al corpului de fracţii pe \( X \) şi astfel încât inversul \( \mathcal{L}^{-1} \) să fie chiar fascicolul de ideale ce defineşte divizorul \( D \) (care e divizor efectiv, presupun, nu? eu aşa am înteles). Rezultă deci că fascicolul de ideale \( \mathcal{F}=f_*\mathcal L \) conţine de fapt fascicolul structural \( \mathcal{O}_X=f_*\mathcal{O}_Y \), deci trebui să avem \( \mathcal{F}=\mathcal{O}_Y \), ceea ce doream să arătăm.