Analiza Reala Anul I (examene Univ Politehinica Buc)

[Luminita Costache]

Examen analiza - 31 ianuarie 2008- Seria CA
Prof. Radu Gologan Asist. Luminita Costache



1. Fie \( z=z(x,y) \) functie definita implicit de ecuatia \( x^{2}+y^{2}+2x-4y+z^{2}+z+3=0 \). Sa se studieze extremele acesteia.

2. Calculati
\( \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt[4]{x}}{(1+x)^{2}}dx \), folosind eventual o integrala Beta.

3. Sa se calculeze ca integrala cu parametru \( I(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\frac{1+a\cos x}{1-a\cos x
\right)\cdot\frac{1}{\cos x}dx, \) unde \( |a|<1 \).

4. Sa se calculeze cu formula Green -Riemann \( \int_{\Gamma}(x+y)^{2}dx-(x^{2}+y^{2})dy \), unde \( \Gamma \) este sfertul de cerc \( x^{2}+y^{2}=1,x>0,y>0 \).

5. Sa se calculeze fluxul campului

\( \vec{v}=(y-z)\vec{i}+(z-x)\vec{j}+(x-y)\vec{k} \)

prin suprafata deschisa \( x^{2}+y^{2}=4-z, z>0 \), utilizand teorema Gauss-Ostrogradsky.

6. Folositi formula lui Taylor cu rest de ordin 1 (teorema de medie) pentru a demonstra urmatorul rezultat: Fie \( f:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}^{+} \), diferentiabila cu
\( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\in
[0,1] \) si \( f(0,0)=0 \). Atunci

\( \int\int_{[0,1]^{2}}f(x,y) dx dy\leq 1 \)

Refacere partial

1. Studiati convergenta uniforma a seriei
\( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}+x^{2n}} \)

2. Calculati suma seriei
\( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{(n+1)^{2}}{n!} \).

3. Sa se arate ca functia definita pe \( {\mathbb{R}^{2}} \) prin \( f(x,y)=\frac{xy^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}} \) pentru \( (x,y)\neq
(0,0) \) si \( f(0,0)=0 \) este diferentiabila , dar nu e de clasa \( \mathcal{C}^{1} \).

4. Dezvoltati in serie Fourier pe \( [-\pi, \pi] \), functia \( f (x)=|\sin \frac{x}{3}| \).


Examen analiza - 2 februarie 2008- Seria CA

Prof. Radu Gologan, Asist. Luminita Costache

1. Sa se studieze extremele locale ale functiei \( f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \) pe portiunea din planul
\( x+y+z=1 \) cu \( x,y,z>0 \). Ce se schimba daca regiunea din planul de mai sus este descrisa de \( x,y,z\geq 0 \)?

2. Calculati \( \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{6}}dx \), folosind eventual o integrala Beta.

3. Sa se calculeze ca integrala cu parametru
\( I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan (ax)}{x(1+x^{2})}dx \), unde \( |a|\neq 1 \).

4. Sa se calculeze cu formula Green -Riemann
\( \int_{\Gamma}(x+y)^{2}dx-(x-y)dy \), unde \( \Gamma \) este cercul \( x^{2}+y^{2}=x \).

5. Sa se calculeze fluxul campului
\( \vec{v}=3x^{2}z\vec{i}+(y^{2}-2z)\vec{j}+z^{3}\vec{k} \)
prin suprafata deschisa \( \frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{9}=1, z>0 \), utilizand teorema Gauss-Ostrogradsky.

6. Fie \( D \) discul de centru O si raza \( \sqrt{\pi} \) in
plan. Aratati ca

\( \displaystyle{\lim_{n\to \infty}}\int\int_{D}\sin^{n}(xy) dx dy=0 \)

Refacere partial

1. Studiati convergenta seriei
\( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\left(a\frac{n^{2}+n+1}{n^{2}}\right)^{n},a>0 \)

2. Studiati convergenta punctuala si uniforma a sirului de functii
\( f_{n}: {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}, f_{n}(x)=\frac{x^{2}n}{1+nx^{2}} \)

3. Dezvoltati in serie de puteri
\( f(x)=\frac{3x}{x^{2}+5x+6} \), precizand domeniul de definitie si domeniile de convergenta punctuala , respectiv uniforma.

4. Fie \( f: {\mathbb{R}^{2}}\to{\mathbb{R}} \) data prin
\( f(x,y)=\frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{2}} \) pentru \( (x,y)\neq (0,0) \) si \( f(0,0)=0 \). Aratati ca \( f\in \mathcal{C}^{1}(\R^{2}) \).
Calculati derivatele partiale de ordinul 2 in origine.
Este \( f \) de clasa \( \mathcal{C}^{2} \)?

Examen analiza - 8 februarie 2008- Seria CA

Prof. Radu Gologan, Asist. Luminita Costache

1. Fie \( z=z(x,y) \) functie definita implicit de ecuatia
\( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xz-yz+2x+2y+2z-2=0 \). Sa se studieze extremele acesteia. Sa se calculeze \( \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}(0,0) \).

2. Calculati \( \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{4}}dx \), folosind eventual o
integrala Beta.

3. Sa se calculeze ca integrala cu parametru

\( I(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\frac{1+a\sin x}{1-a\sin x
}\right)\cdot\frac{1}{\sin x}dx, \) unde \( |a|<1 \).

4. Sa se calculeze cu formula Green -Riemann

\( \int_{\Gamma}\e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}(-y dx+x dy) \),

unde \( \Gamma \) este sfertul de elipsa \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,x>0,y>0 \).

5. Sa se calculeze fluxul \( \vec{v} \),
unde \( \vec{v}=(x^{2}+y-4)\vec{i}+3xy\vec{j}+(2xz+z^{2})\vec{k} \),
dupa normala exterioara , utilizand teorema lui Stokes, pentru suprafata \( \sum : x^{2}+y^{2}+z^{2}=16,z\geq 0 \).

6. Fie \( D \) discul de centru O si raza 1 in plan. Aratati ca

\( \displaystyle{\lim_{n\to \infty}}\int\int_{D}\frac{(x^{2}+y^{2})^{n}}{1+x^{2}+y^{2}}dx dy=0, \)
folosind eventual un disc de raza mai mica pe care functia data converge uniform la 0.

Refacere partial

1. Studiati convergenta uniforma a seriei

\( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}+x^{2n}} \)

2. Calculati suma seriei
\( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{(n+1)^{2}}{n!} \).

3. Dezvoltati in serie Fourier pe \( [-\pi, \pi] \), functia \( f (x)=|\sin \frac{x}{3}| \).

4. Fie \( f:{\mathbb{R}^{2}}\to {\mathbb{R}} \) data prin \( f(x,y)=\frac{xy^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}} \) pentru \( (x,y)\neq
(0,0) \) si \( f(0,0)=0 \). Aratati ca este diferentiabila , dar nu e de clasa \( \mathcal{C}^{1} \).