Termenul general al unui sir de numere naturale cu repetitie

[Virgil Nicula]

Doua probleme echivalente !

1. Sa se determine termenul general al sirului

\( 1\ ,\ 2\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ 3\ ,\ 3\ ,\ 4\ ,\ 4\ ,\ 4\ ,\ 4\ ,\ \ldots\ ,\ n\ ,\ n\ ,\ n\ ,\ \ldots\ ,\ n\ ,\ n\ ,\ \ldots \)

unde pentru orice numar natural \( n\ge 1 \), numarul \( n \) se repeta consecutiv de \( n \) ori.

2. Sa se arate ca pentru orice numar real \( x \ge 1 \) exista \( n\in\mathbb N^* \) astfel incat

\( 1+2+3+\ldots +(n-1)+n\ \le\ x\ <\ 1+2+3+\ldots +n+(n+1) . \)

[mihai++]

Termenul general al sirului e dat de :
\( \frac{n(n-1)}{2}<i\leq\frac{n(n+1)}{2} \rightarrow a_i=n \).
Iar la a doua pb daca presupunem ca nu exista nici un n pt care sa se intample conditia atunci obtinem contradictie din cauza ca x se va afla intre alte doua numere de acelasi tip neexistand cel mai mare numar x in reale.
De exemplu:
\( x\leq1+\dots +n=S_n\leq1+\dots n+1=S_{n+1} \) asta implica ca \( x\geq S_{n+2} \) si ne-am scos sau \( x\leq S_{n+2} \) si aplicam in continuare aceeasi constructie. Cum la un moment dat procesul se va oprii(\( x\geq1 \)) concluzia e indeplinita.
pt \( x\geq S_{n+1} \) actionam la fel doar ca punem conditia ca nu exista \( max{\mathbb{R}} \)

[Virgil Nicula]

Si totusi, Mihai++, la prima problema care este termenul general si la cea de-a doua cat este \( x \) ?!

[mihai++]

Daca am inteles bine intrebarea \( x=1+2+\dots+k+r \) cu \( r<k+1 \)si \( a_x=k+1 \)
adica fara a folosi x: \( a_{1+2+\dots+k+r}=k+1 \) cu \( r<k+1 \), \( \forall r,k \).

[Virgil Nicula]

La prima problema, termen general inseamna \( a_n=f(n) \) (al \( n \) - lea termen in functie de \( n \) )
iar la a doua problema gaseste cat face \( x \) in functie de \( n \) . Aici este clasa a X - a , nu ?!

[Virgil Nicula]

Sa se determine termenul general al sirului

\( 1\ ,\ 2\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ 3\ ,\ 3\ ,\ 4\ ,\ 4\ ,\ 4\ ,\ 4\ ,\ \ldots\ ,\ n\ ,\ n\ ,\ n\ ,\ \ldots\ ,\ n\ ,\ n\ ,\ \ldots \)

unde pentru orice numar natural \( n\ge 1 \), numarul \( n \) se repeta consecutiv de \( n \) ori.

Demonstratie. Notam al \( n \) - lea termen (termenul general) \( a_n \) , \( n\in\mathbb N^* \) . Asadar,

\( a_n=p\ \Longleftrightarrow \) \( 1+2+\ldots +(p-1)\ <\ n\ \le\ 1+2+\ldots +p\ \Longleftrightarrow \) \( p(p-1)<2n\le p(p+1)\ \Longleftrightarrow \)

\( \left\|\begin{array}{c}
p^2-p-2n<0\\\\
p^2+p-2n\ge 0\end{array}\ \Longleftrightarrow \) \( \frac {-1+\sqrt {1+8n}}{2}\le p<\frac {1+\sqrt {1+8n}}{2}\ \Longleftrightarrow \) \( (-p)\le\frac {1-\sqrt {1+8n}}{2}<(-p)+1\ ,\ (-p)\in\mathbb Z\ \Longleftrightarrow \)

\( (-p)=\left[\frac {1-\sqrt {1+8n}}{2}\right]\ \Longleftrightarrow p=-\left[\frac {1-\sqrt {1+8n}}{2}\right] \) . In concluzie, \( \underline {\overline {\left\|\ a_n=-\left[\frac {1-\sqrt {1+8n}}{2}\right]\ \right\|}} \) , \( n\in\mathbb N^* \) .

Mihai++ , acum poate ne oferi (frumos !) solutia celui de-al doilea exercitiu. Fii atent la semnele inegalitatilor !

[mihai++]

Mie mi-a dat ca termenul general al sirului e \( a_k=\left[ sqrt{2k}+\frac{1}{2} \right] \).
Si chiar nu inteleg de ce trebuie sa aflu cat e x atata timp cat am demonstrat concluzia