Teoria masurii, anul II, sem I, 04 Februarie 2008

[Diana Putan]

Examen: Teoria masurii
Profesor: Serban Stratila

I. Fie \( \lambda \) masura Lebesgue pe\( \mathbb{R} \) si \( \lambda_{2}=\lambda\overline{\times}\lambda \) masura Lebesgue pe \( \mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R} \). Fie \( F\in L^{1}(\mathbb{R}^2,\lambda_{2}) \).
Enuntati complet concluziile TEOREMEI LUI FUBINI pentru functia F fara a folosi nici o alta notatie codificata in afara de semnul \( \int \) pentru integrala.


II. Fie \( f\in L^{1}(\mathbb{R}) \) si \( g:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \) o functie \( \lambda- \)masurabila si marginita: \( |g(t)|\leq M,\forall t\in\mathbb{R} \). Sa se arate ca

1. Functia \( \mathbb{R}\ni t\mapsto f(x-t)g(t)\in\mathbb{C} \) este \( \lambda- \)integrabila pentru orice \( x\in\mathbb{R} \).

2. Fie \( (f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x-t)g(t) dt}, x\in\mathbb{R} \). Sa se arate ca:

(i) \( f\ast g \) este o functie marginita(de care constanta?)

(ii) \( f\ast g \) este o functie (uniform) continua.


III. Fie \( f_{n}:\mathbb{R}\to[0,\infty) \) un sir descrescator de functii \( \lambda- \)masurabile:

\( f_{1}\geq f_{2}\geq...\geq f_{n}\geq f_{n+1}\geq...\geq0 \)

cu proprietatea ca \( \lim_{n\to\infty}{f_{n}(x)}=0,\forall x\in\mathbb{R} \).

1. Aratati ca daca \( f_{1}\in L^{1}(\mathbb{R},\lambda) \), atunci
\( \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{f_{n}(x) dx}=0 \).

2. Construiti un exemplu in care functiile \( f_{n} \) satisfac conditiile din enunt, dar
\( \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{f_{n}(x) dx}=\infty \).