Teoria masurii, anul II, sem.I, 2 februarie 2008

[dede]

Examen: Teoria masurii
Profesor: M.Sabac

Teorie

1) Ce inseamna o masura?
2) Descrieti masura Lebesgue (domeniul de definitie si functia care o defineste).
3) Ce inseamna o functie masurabila?
4) Definiti convergenta a.p.t., a.u., in masura. Descrieti relatiile dintre ele.
5) Enuntati Lema Fatou.

Exercitii

1) Sa se arate ca \( A=\bigcup_{n=1}^{\infty}[n,n+\frac{{(-1)}^n}{2^n}) \) este masurabila Lebesgue si sa se calculeze masura Lebesgue a lui A.
2) Sa se arate ca functia \( f=\sum_{n=0}^{\infty}{n\chi_{[n,n+\frac{1}{2^n}]} \) este masurabila Borel si sa se calculeze intregrala Lebesgue a lui f.
3) Calculati \( \lim_{n\to\infty}\int_{R}{\frac{e^{-|x|}}{x^2+n^2}dx \)
4) Sa se arate ca \( \lim_{--}\chi_{A_n} \) este masurabila Borel daca {\( A_n \)} este un sir de multimi boreliene in R.
5) Fie \( h_1\geq h_2\geq ... \geq h_n \geq h_{n+1} \geq ... \) un sir descrescator de functii integrabile pe un spatiu cu masura \( (X,\Sigma ,\mu) \). Demonstrati ca daca \( (\int_{X}{h_n d\mu})_n \) este marginit atunci \( \lim{h_n} \) este integrabila si \( \lim{\int{h_n d\mu}=\int{\lim{h_n}d\mu} \).