Functii operatorial monotone

[Dragos Fratila]

Fie A o C*-algebra (cu unitate sa zicem). Caracterizati functiile continue cu proprietatea ca ori de cate ori \( 0\le a\le b \) avem \( 0\le f(a)\le f(b) \).

De preferabil sa nu fie ceva de genul "Rudin, pagina 378, propozitia 13.9"...

[Alexandru Chirvasitu]

Exista o caracterizare simpla pentru functiile astea? De exemplu, functia \( f(z)=z^2 \) e buna daca \( A \) e comutativa, dar nu si daca \( A \) e algebra tuturor operatorilor pe un spatiu Hilbert (de dimensiune cel putin doi).

Pentru \( C^* \)-algebre comutative e intr-adevar usor: functiile cautate sunt exact cele "nedescrescatoare" (crescatoare adica, dar nu neaparat strict) si nenegative pe \( [0,\infty) \).

[Dragos Fratila]

relativ "simpla"... nu e chiar asa de simpla ca pentru algebrele comutative ...
mie mi s-a parut destul de eleganta... problema nu mi se pare deloc simpla.. cel putin nu pentru mine

Ca ai pomenit de z^2: daca aceasta functie este operatorial monotona atunci algebra este comutativa...

[Liviu Paunescu]

Eu am niste notite cu urmatoarea teorema a lui Lowner:

Fie \( f\in C^1(-1,1) \) reala. I se asociaza \( C_f:(-1,1)\times (-1,1)\to\mathbb{R} \) definit prin:

\( C_f(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \) daca \( x\neq y \) si \( C_f(x,x)=f (x) \) derivat (nu ma lasa sa pun semnul de derivat).

Atunci sunt echivalente:

1) \( f \) este operatorial monotona, adica \( \forall H \) Hilbert si \( a,b\in B(H)_h \) cu \( -1<a\leq b<1 \) avem \( f(a)\leq f(b) \)

2) \( f \) este matricial monotona adica acelasi lucru doar ca \( dim H<\infty \)

3) \( C_f:(-1,1)\times (-1,1)\to\mathbb{R} \) este un nucleu pozitiv

4) \( \exists\mu \) masura boreliana pozitiva pe \( [-1,1] \) asa ca \( f(x)=f(0)+\int_{-1}^1\frac{x}{1-xt}d\mu(t) \).

Nu stiu daca pe asta o vroiai, e un pic diferita. Am sa revin candva si cu demonstratia, mai intai sa o inteleg, poate intr-un thread separat daca e altceva.
ps: \( C:A\times A\to\mathbb{R} \) nucleu pozitiv daca \( \forall n\ \forall x_1,\ldots x_n\in A \) si \( \forall\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mathbb{C} \) avem \( \sum_{i,j=1}^n C(x_i,x_j)\xi_i\bar\xi_j\geq 0 \)

[Alexandru Chirvasitu]

Am sters tot atunci si ma mai gandesc . Cred ca e corect ce facusem inainte, dar am aratat numai ca \( f \) e concava, dupa care am presupus (in mod eronat, se pare) ca pot in acelasi fel sa arat ca e convexa.


(editat dupa ce am primit raspunsul de mai jos)

[Dragos Fratila]

Din cate stiu eu functia \( \sqrt x \) este monotona... chiar si cele de forma \( x^u, 0<u\le1 \).