Aplicatii liniare din L^p cu p<1

[Dragos Fratila]

Fie \( \Omega\in R^n \) si fie \( f:L^p(\Omega)\to L^q(\Omega) \) liniara si continua, unde \( 0<p<1 \) si \( q>1 \).
Demonstrati ca \( f \) este \( 0 \).

[Alexandru Chirvasitu]

Asta rezulta din faptul ca \( L^p(\Omega) \) nu are submultimi nenule deschise si convexe, si deci nu admite functionale liniare continue nenule. Am demonstrat aici asta pentru \( L^p([0,1]) \), dar demonstratia se adapteaza cu usurinta.