Spatiu normat Baire
Moderator: Liviu Paunescu
Spatiu normat Baire
Orice spaţiu Banach infinit dimensional conţine un (sub)spaţiu Baire care nu este Banach.
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
O demonstratie folosind recurenta transfinita:
Putem sa presupunem ca spatiul Banach \( X \) cu care pornim este separabil (pur si simplu lucram cu un subspatiu separabil inchis). Colectia multimilor inchise are atunci cardinal \( c=2^{\aleph_0} \), si deci colectia \( \mathcal A \) a reuniunilor numarabile de inchisi cu interior vid din \( X \) are cardinal \( c \). Tot atat este si dimensiunea Hamel a lui \( X \). Se stie ca un spatiu Banach nu poate avea dimensiune Hamel numarabil infinita (chiar de curand era o discutie pe aici), dar un fapt mai putin utilizat e acela ca un spatiu Banach infinit dimensional (real sau complex) are dimensiune Hamel \( \ge c \).
Acum bine-ordonez \( \mathcal A \) astfel incat sa fie izomorfa (ca multime ordonata) cu primul numar ordinal \( \alpha \) de cardinal \( c \) (printr-un abuz de notatie o sa scriu \( \mathcal A=\alpha \)), si incep inductia transfinita. La fiecare pas \( \beta<\alpha \) spatiul liniar \( Y_\beta \) va fi spatiul generat de reuniunea tuturor spatiilor \( Y_\gamma \) construite la pasii anteriori \( \gamma<\beta \) si un element al lui \( X \) care nu e continut in \( \beta \) (aici, pentru ca facem identificarea \( \mathcal A=\alpha,\ \beta \) este privita ca o reuniune numarabila de inchisi cu interior vid). Pot sa imi fixez de la inceput un element oarecare \( x\ne 0 \) al lui \( X \) si sa fac constructia recursiva astfel incat (a) la fiecare pas \( \beta \) al inductiei am grija ca spatiul \( Y_\beta \) sa nu contina pe \( x \) si (b) sa ma asigur ca \( x \) e in inchiderea spatiului \( Y=\bigcup_{\beta<\alpha}Y_\beta \) pe care il obtin la sfarsitul recurentei transfinite. E usor de vazut ca pot sa fac alegerile in felul asta pentru ca \( X \) are dimensiune Hamel egala cu cardinalul lui \( \alpha \).
\( Y \) o sa fie Baire pentru ca nu e reuniune numarabila de submultimi ale sale nicaieri dense, si nu o sa fie Banach pentru ca nu e inchis in \( X \).
Putem sa presupunem ca spatiul Banach \( X \) cu care pornim este separabil (pur si simplu lucram cu un subspatiu separabil inchis). Colectia multimilor inchise are atunci cardinal \( c=2^{\aleph_0} \), si deci colectia \( \mathcal A \) a reuniunilor numarabile de inchisi cu interior vid din \( X \) are cardinal \( c \). Tot atat este si dimensiunea Hamel a lui \( X \). Se stie ca un spatiu Banach nu poate avea dimensiune Hamel numarabil infinita (chiar de curand era o discutie pe aici), dar un fapt mai putin utilizat e acela ca un spatiu Banach infinit dimensional (real sau complex) are dimensiune Hamel \( \ge c \).
Acum bine-ordonez \( \mathcal A \) astfel incat sa fie izomorfa (ca multime ordonata) cu primul numar ordinal \( \alpha \) de cardinal \( c \) (printr-un abuz de notatie o sa scriu \( \mathcal A=\alpha \)), si incep inductia transfinita. La fiecare pas \( \beta<\alpha \) spatiul liniar \( Y_\beta \) va fi spatiul generat de reuniunea tuturor spatiilor \( Y_\gamma \) construite la pasii anteriori \( \gamma<\beta \) si un element al lui \( X \) care nu e continut in \( \beta \) (aici, pentru ca facem identificarea \( \mathcal A=\alpha,\ \beta \) este privita ca o reuniune numarabila de inchisi cu interior vid). Pot sa imi fixez de la inceput un element oarecare \( x\ne 0 \) al lui \( X \) si sa fac constructia recursiva astfel incat (a) la fiecare pas \( \beta \) al inductiei am grija ca spatiul \( Y_\beta \) sa nu contina pe \( x \) si (b) sa ma asigur ca \( x \) e in inchiderea spatiului \( Y=\bigcup_{\beta<\alpha}Y_\beta \) pe care il obtin la sfarsitul recurentei transfinite. E usor de vazut ca pot sa fac alegerile in felul asta pentru ca \( X \) are dimensiune Hamel egala cu cardinalul lui \( \alpha \).
\( Y \) o sa fie Baire pentru ca nu e reuniune numarabila de submultimi ale sale nicaieri dense, si nu o sa fie Banach pentru ca nu e inchis in \( X \).