Convergenta slaba

[Consonant]

Fiind dat un spatiu normat \( (S;|| \cdot||) \), pentru sirurile \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) cu elemente in \( S \) avem convergenta tare, adica in norma \( ||\cdot|| \), si convergenta slaba, in sensul urmator: sirul \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) converge slab la \( x \) daca pentru orice functionala liniara si continua \( \phi \) pe \( S \) avem convergenta sirurilor numerice \( \phi(x_n)\rightarrow \phi(x) \).

Este aproape evident ca avem implicatia: convergenta tare \( \Rightarrow \) convergenta slaba. Pe de alta parte, pentru spatiile finit dimensionale \( S \), este clar ca cele doua tipuri de convergenta pentru siruri din \( S \) coincid. S-ar putea crede, cel putin pentru spatiile Banach, ca daca cele doua tipuri de convergenta coincid, atunci spatiul este finit dimensional. Ei bine, nu este asa, si are loc urmatorul rezultat remarcabil:

Teorema (I. Shur) Pe spatiul Banach \( l_1 \) convergenta slaba a sirurilor coincide cu convergenta tare.

Aceasta teorema apare pentru prima oara in articolul:

I. Schur, Ueber der lineare Transformationen in der Theorie der undendlichen Reihen, Journal Reine Angew. Math. 151(1921), 79-111.

Aceasta teorema NU spune ca topologia tare si cea slaba pot coincide pe spatii Banach infinit dimensionale, intrucat topologia tare este normata iar cea slaba este doar local convexa, iar in cazul spatiului Banach \( l_1 \) topologia slaba nu poate fi nici macar metrizabila intrucat dualul sau topologic este \( l_\infty \) care nu este separabil (demonstrati!). Este, daca vreti, inca un exemplu care arata cat de departe pot fi spatiile infinit dimensionale de spatiile finit dimensionale.

[Liviu Paunescu]

Da, un lucru foarte interesant, pe care eu unul nu il stiam. As avea cateva intrebari, stiu ca era un capitol in cartea lui Kelly despre legatura dintre o topologie si sirurile convergente, o carte pe care cumva am reusit sa o ratez.
Deci doua topologii diferite pot avea aceleasi siruri convergente. E adevarat si pentru siruri generalizate? Sau daca ambele topologii ar fi metrice (sau prima axioma de numarabilitate), s-ar mai putea intampla asa ceva?

Later edit:
Nu prea mai sunt sigur de problema: Daca iau \( e_n \) sa fie sirul care are 1 pe pozitia \( n \) si 0 in rest, atunci \( ||e_n||_1=1 \) si \( e_n \) converge slab la sirul constant 0. Unde e greseala?

[Consonant]

Da, un lucru foarte interesant, pe care eu unul nu il stiam. As avea cateva intrebari, stiu ca era un capitol in cartea lui Kelly despre legatura dintre o topologie si sirurile convergente, o carte pe care cumva am reusit sa o ratez.

Deci doua topologii diferite pot avea aceleasi siruri convergente. E adevarat si pentru siruri generalizate? Sau daca ambele topologii ar fi metrice (sau prima axioma de numarabilitate), s-ar mai putea intampla asa ceva?


Later edit:
Nu prea mai sunt sigur de problema: Daca iau \( e_n \) sa fie sirul care are 1 pe pozitia \( n \) si 0 in rest, atunci \( ||e_n||_1=1 \) si \( e_n \) converge slab la sirul constant 0. Unde e greseala?

Sa luam pe rand cele doua tipuri de intrebari:

1. Intr-adevar, pentru topologii sunt doua abordari posibile: sau cea cu multimi deschise, vecinatati, etc. sau o a doua cu filtre, ultrafiltre, care in final conduc la sir generalizat. Aceste abordari sunt echivalente in sensul ca a spune ce inseamna convergenta sirurilor generalizate este echivalent cu a da o topologie. Daca spatiul toplogic este metrizabil, adica topologia poate fi definita de o metrica, atunci topologia este echivalenta cu a spune ce inseamna convergenta sirurilor (indexate pe mutimea numerelor naturale). Cam pe aici se afla si dificultatea, in general, de a lucra cu topologii nemetrizabile, si anume ca sirurile nu mai sunt suficiente. Teorema lui Schur are meritul de a clarifica aceasta problema chiar pentru spatii Banach, si este un rezultat remarcabil. Abordarea cu siruri generalizate este moderna si foarte utilizata in analiza functionala, insa contine o capcana: Domnul Profesor Colojoara ne-a atras atentia ca utilizarea fara discernamant a notiunii de sir generalizat poate crea probleme intrucat multimile de indexare pot fi foarte mari si apar antinomii gen "multimea multimilor". O prezentare riguroasa si corecta este in Bourbaki (daca se mai citeste in zilele acestea!). Kelly este mai neglijent in detalii. Mai general: din cauza comprimarii cursurilor, probleme de topologie generala care sunt uneori esentiale, sunt trecute in subsidiar si face ca studentii interesati de cercetare sa-si completeze educatia matematica in afara cursurilor.

2. Eroarea consta in aceea ca sirul tau \( (e_n)_{n\in\mathbb{N}} \) nu converge slab la 0. Intr-una dintre postarile tale am observat ca sti cum se demonstreaza ca dualul topologic al spatiului \( l_1 \) este spatiul \( l_\infty \). Dualitatea dintre cele doua spatii este data de \( \langle \phi, x\rangle=\sum\limits_{k\in\mathbb{N}} \phi_k x_k \) unde \( \phi=(\phi_k) \) este in \( l_\infty \) iar \( x=(x_k) \) este in \( l_1 \). Astfel, daca luam \( \phi \) reprezentata de \( \phi_k=1 \) pentru orice \( k\in\mathbb{N} \), atunci \( \langle \phi,e_n\rangle=1 \) pentru orice \( n\in \mathbb{N} \).

Incercand sa ghicesc de unde vine "eroarea de intuitie" as indrazni sa fac o remarca mai generala: in spatiile Banach trebuie sa lasam deoparte intuitia pe care o avem de la spatiile Hilbert (stiu ca este greu, fiindca traim intr-un spatiu Euclidian cu produs scalar). Intr-adevar, sirul tau converge slab in \( l_2 \).