Trinoame ireductibile in mai multe variabile (cunoscuta?)

[lasamasatelas]

Fie \( K \) un corp algebric inchis si fie \( a,b,c\in K^* \).

Sa se arate ca \( P=a+bX^d+cY^d \) e reductibil ddaca exista un prim \( p \) a.i. \( char(K)=p \) si \( p\mid d \).

Ceva mai general (si poate ceva mai greu, depinde ce metoda folositi):

Sa se arate ca \( P=a+bX^m+cY^m \) e reductibil ddaca exista un prim \( p \) a.i. \( char(K)=p \) si \( p\mid m,n \).

Si cel mai general:

Sa se arate ca daca \( P=aX_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}+bX_1^{j_1}\cdots X_n^{j_n}+cX_1^{k_1}\cdots X_n^{k_n} \), \( X_t\not\mid P \)\( \forall t \), iar punctele de coordonate \( (i_1,\ldots,i_n) \), \( (j_1,\ldots,j_n) \) si \( (k_1,\ldots,k_n) \) nu sunt coliniare (in \( {\mathbb R}^n \)) atunci \( P \) e reductibil ddaca exista un prim \( p \) a.i. \( char(K)=p \) si \( p\mid i_t,j_t,k_t \) \( \forall t \).

(Cu \( char(K) \) notam caracteristica lui \( K \), iar "ddaca" inseamna "daca si numai daca".)

Ca s-o rezolvati pe ultima ar fi bine sa stiti ce sunt politoapele lui Newton.

Ultima problema e o lema intr-un articol pe care l-am scris. Daca cineva a mai vazut undeva vreunul din rezultatele acestea (mai ales ultimul) il rog sa-mi spuna.