Fie un triunghi \( ABC \) si fie \( D \) piciorul inaltimii dusa din varful \( B \) (\( D \) se afla pe segmentul \( AC \)). Fie cercul de diametru \( BD \) si fie \( K \), respectiv \( L \), punctele in care cercul taie laturile \( AB \), respectiv \( BC \). Tangentele la cerc in \( K \), respectiv \( L \) se intersecteaza in \( M \).
Sa se arate ca \( BM \) este mediana triunghiului \( ABC \).
SERBIA
IMAC Seniori 15 mai 2010 Ziua 1 Subiectul 3
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
IMAC Seniori 15 mai 2010 Ziua 1 Subiectul 3
Brojbeanu Andi Gabriel, clasa IX-a
Colegiul National "Constantin Carabella" Targoviste
Colegiul National "Constantin Carabella" Targoviste
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Fie \( \{P\}=BM\cap KL \) si \( \{Q\}=AC\cap BM \)
Atunci \( \frac{KP}{PL}=\frac{AQ}{QC}\cdot\frac{BK}{BL}\cdot\frac{BC}{BA} \)
si de aici rezulta ca Q e mijloc.
Intr-adevar in triunghiurile BML si BMK din teorema sinusurilor
\( \frac{sin \angle{MBL}}{sin \angle{MBK}}=\frac{sin \angle{C}}{sin \angle{A}}
\)
Pe de alta parte folosind arii \( \frac{sin \angle{MBL}}{sin \angle{MBK}}\cdot\frac{BL}{BK}=\frac{AL}{AK} \)
Atunci \( \frac{KP}{PL}=\frac{AQ}{QC}\cdot\frac{BK}{BL}\cdot\frac{BC}{BA} \)
si de aici rezulta ca Q e mijloc.
Intr-adevar in triunghiurile BML si BMK din teorema sinusurilor
\( \frac{sin \angle{MBL}}{sin \angle{MBK}}=\frac{sin \angle{C}}{sin \angle{A}}
\)
Pe de alta parte folosind arii \( \frac{sin \angle{MBL}}{sin \angle{MBK}}\cdot\frac{BL}{BK}=\frac{AL}{AK} \)