Teorema intr-un trapez

[alex2008]

Fie un trapez \( ABCD \) cu \( AB \parallel CD \) , \( AD \cap BC=\{I\} \) si \( O \) intersectia diagonalelor . Sa se arate ca \( IO \) trece prin mijlocul bazelor .

[DrAGos Calinescu]

Se demonstreaza usor prin metoda vectoriala ca \( O,I,M,N \) coliniare unde punctele \( M \) si \( N \) sunt mijloacele bazelor.

[alex2008]

O demonstratie sintetica e prin asemanare de triunghiuri .

[Andi Brojbeanu]

Notam cu \( M \), respectiv \( N \) intersectiile dreptei \( IO \) cu segmentele \( [AB] \), respectiv \( [DC] \).
Deoarece \( AM\parallel DN\Rightarrow \bigtriangleup {IAM}\sim \bigtriangleup {IDN}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{IM}{IN}(1) \).

Deoarece \( MB\parallel NC\Rightarrow \bigtriangleup {IMB}\sim \bigtriangleup {INC}\Rightarrow \frac{MB}{NC}=\frac{IM}{IN}(2) \).

Din \( (1), (2)\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{MB}{NC}(3) \).

Deoarece \( AM\parallel NC\Rightarrow \bigtriangleup {AMO}\sim \bigtriangleup{CNO}\Rightarrow \frac{AM}{NC}=\frac{MO}{ON}(4) \).

Deoarece \( MB\parallel DN\Rightarrow \bigtriangleup {BMO}\sim \bigtriangleup {DNO}\Rightarrow \frac{MB}{DN}=\frac{MO}{ON}(5) \).

Din \( (4), (5)\Rightarrow \frac{AM}{NC}=\frac{MB}{DN}(6) \).

Inmultind relatiile \( (3), (6) \) obtinem \( \frac{AM\cdot AM}{DN\cdot NC}=\frac{BM\cdot BM}{NC\cdot DN}\Rightarrow AM^2=BM^2\Rightarrow AM=BM\Rightarrow M \) este mijlocul lui \( [AB] \).

Din \( \frac{AM}{DN}=\frac{MB}{NC}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{AM}{NC}\Rightarrow DN=NC\Rightarrow N \) este mijlcoul lui \( [DC] \).

[opincariumihai]

Fie un trapez \( ABCD \) cu \( AB \parallel CD \) , \( AD \cap BC=\{I\} \) si \( O \) intersectia diagonalelor . Sa se arate ca \( IO \) trece prin mijlocul bazelor .

Ca o aplicatie imediata a acestei proprietati avem urmatoarea problema de constructie ( prin manualele vechi se mai gaseste )

Fiind dat un paralelogram , determinati mijloacele laturilor folosind o rigla negradata.

[andreiilie]

Aplicam o data Teorema lui Ceva, si inlocuim in ea cu rapoartele cunoscute din Thales si, prin reducerea fractilor din Ceva, va rezulta ca raportul CM pe DM = 1, deci M va fi mijlocul bazei mari. Dupa asta, pentru baza mica demonstratia va fi evidenta