JBTST IV 2010, Problema 3

[Andi Brojbeanu]

Fie \( ABC \) un triunghi inscris in cercul \( (O) \). Fie \( I \) centrul cercului inscris in triunghi si \( D \) punctul de contact al cercului inscris cu latura \( BC \). Fie \( M \) cel de-al doilea punct de intersectie a bisectoarei \( AI \) cu cercul \( O \) si fie \( P \) punctul in care dreapta \( DM \) retaie cercul \( (O) \). Sa se arate ca \( PA\perp PI \).

[Virgil Nicula]

Fie \( ABC \) un triunghi cu cercul circumscris \( w=C(O) \) si cercul inscris \( (I) \) . Cercul \( (I) \) atinge \( BC \) in punctul \( D \) si dreptele \( AI \) ,

\( AO \) intalnesc a doua oara cercul \( (O) \) in punctele \( M \) , \( S \) respectiv. Sa se arate ca dreptele \( MD \) si \( SI \) se intalnesc pe cercul \( (O) \) .

Demonstratie. Notam punctul de intersectie \( P \) intre dreptele \( MD \) si \( SI \) , adica\( P\in MD\cap SI \) . Se observa ca :

1. Diametrul si inaltimea din varful \( A \) sunt izogonale \( \Longrightarrow \) \( \widehat {DIM}\equiv\widehat {IAS} \) .

2. \( \frac {ID}{AI}=\frac {IM}{AS} \Longleftrightarrow \frac {r}{IA}=\frac {IM}{2R} \) \( \Longleftrightarrow IA\cdot IM=2Rr \) ceea ce este adevarat deoarece puterea \( p_w(I) \) a punctului \( I \)

fata de cercul \( w \) este prin definitie \( p_w(I)=\overline {IA}\cdot \overline{IM} \) si este cunoscut faptul ca \( p_w(I)=OI^2-R^2=-2Rr \) .

Din cele doua observatii rezulta ca \( \triangle DIM\sim\triangle IAS \) . In consecinta \( \widehat {DMI}\equiv\widehat {ISA} \) ceea ce inseamna ca patrulaterul

\( APMS \) este ciclic, adica punctul \( P \) apartine cercului circumscris triunghiului \( AMS \) care nu-i altul decat cercul \( w \) .

Remarca. Problema se gaseste in Culegerea de Probleme (CdP) semnata Gh. TITEICA.
Cred ca ai auzit de autor si iti recomand sa o parcurgi cu condeiul in mana, desi este scrisa prin 1935.
Iti ofer mai jos o problema compusa ad-hoc de mine in care sa folosesti aceasta frumoasa proprietate.

Fie \( ABC \) un triunghi cu cercul circumscris \( w=C(O) \) si cercul inscris \( (I) \) . Cercul \( (I) \) atinge \( BC \)

in punctul \( D \) si dreptele \( AI \) , \( AO \) intalnesc a doua oara cercul \( (O) \) in punctele \( M \) , \( S \) respectiv.

Notam \( X\in BS\cap CM \) si punctul \( Y\in AB \) pentru care \( CY\cap MD\subset w \) . Sa se arate ca \( I\in XY \) .