Algebra Omologica 2010

[dede]

Examen: Algebra Omologica
Profesor: Tiberiu Dumitrescu

1) Fie matricele \( A=\left(\begin{array}{3c} { 0} & {-3} & {-3} \\ {-1} & { 0} & { 1} \\ { 0} & {-3} & {-3} \\\end{array} \right) \) si \( B=\left(\begin{array}{3c} { 1} & {0} & {-1} \\ {-1} & { 0} & { 1} \\ { 1} & {0} & {-1} \\\end{array} \right) \). Fie R un model si sirul \( ...->R^3 ->^p R^3 ->^q -> R^3 -> ^p ... \). p(x) = xA si q(x) = xB. Aratati ca sirul e complex, calculati modulele de omologie si precizati daca e exact.

2) R inel comutativ si M un R modul. \( x,y \in M \) a.i. \( ax \neq by , \forall a,b \in R \). Rezulta ca \( Tor_0^R(Rx+Ry,M)=0 \) ?

3) Definiti \( Ext^n \) si dati niste proprietati. Pe Q consideram structura de Q[X] modul data de f(X)z=f(0)z, \( f(X)\in Q[X],z\in Q \). Calculati \( Ext^n_{Q[X]}(Q,Q[X]), n \geq 0 \) folosind rezolutia 0 -> Q[X] -> ( * X) Q[X] -> Q- > 0 .

4) G grup. Definiti rezolutia standard nenormalizata a ZG modulului Z si verificati ca e rezolutie.

5) Fie A -> B un morfism de inele comutative si M un B - modul. Folositi un anumit sir spectral pentru a arata ca \( pd_A(M) \leq pd_B(M) + pd_A(B) \).